Question

конус пересечено плоскостью, паралельной основанию, какая находится от вершины конуса на расстоянии 2/3 его высоты. Найти площадь сечения, если радиус основания равен 18 см

Answer 1

Параллельная плоскость отсечёт подобный конус, но поменьше. Радиус основания нового конуса $\dfrac{2}{3}\cdot 18 = 12$, площадь найдите сами.

Answer 2

Пусть конус имеет высоту h и радиус основания R. Также пусть расстояние от вершины конуса до пересекающей плоскости равно d. Тогда мы знаем, что отношение d к h равно 2/3.

Так как плоскость параллельна основанию, то ее пересечение с конусом является кругом, радиус которого равен R. Круг можно описать уравнением x^2 + y^2 = R^2, где (x,y) - координаты точки на плоскости.

Чтобы найти площадь сечения, нужно найти площадь этого круга, которая равна πR^2. Остается найти радиус R.

Рассмотрим правильный треугольник, образованный половиной пересеченного конуса, высотой h/2 и радиусом R. Этот треугольник подобен большому треугольнику, образованному высотой h, радиусом R и отрезком, соединяющим вершину конуса с точкой пересечения плоскости. Отношение соответствующих сторон этих треугольников равно 2/3.

Таким образом, имеем уравнение:

makefileCopy code
R / h = 2/3

R = (2/3)h

Подставляя это выражение для R в формулу для площади круга, получаем:

scssCopy code
S = πR^2 = π(2/3h)^2 = (4/9)πh^2

Ответ: площадь сечения конуса равна (4/9)πh^2, где h - высота конуса, а расстояние от вершины конуса до пересекающей плоскости равно 2/3h. Если радиус основания конуса R = 18 см, то его высота h = sqrt(3)*R = 31.176 см, и площадь сечения будет примерно 118.22 квадратных сантиметров.