Question

ДАМ 25 БАЛЛОВ! Решить задачу: круг вписан в трапецию, боковые стороны которой равны как 18см и 20 см. Найти среднюю линию трапеции

Answer 1

Ответ:

Средняя линия равна 19см.

Объяснение:

Если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.  =>

Средняя линия равна (BC+AD)/2 = (AB+CD)/2 = (18+20)/2 = 19см.

Или так: вершины А, В, С и D - точки, из которых проведены касательные к вписанной в трапецию окружности (стороны трапеции). Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны =>

AD = x + y.  (1)

BC = (18-x) + (20-y). (2)

Сложим (1) и (2) и получим: AD+BC = 18+20.  =>

Средняя линия равна (18+20)/2 = 19.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства вписанного круга в трапецию.

Средняя линия трапеции - это среднее арифметическое ее оснований. Для трапеции с боковыми сторонами 18 см и 20 см, ее основания будут равны:

$a = 18 \text{ см}$ $b = 20 \text{ см}$

Радиус вписанного в трапецию круга можно найти по формуле:

$r = \frac{h}{2}$

где $h$ - высота трапеции, которую мы должны найти. Мы знаем, что радиус круга также является высотой трапеции, опущенной из точки пересечения диагоналей. Обозначим эту точку как $O$.

Таким образом, для нахождения высоты трапеции, нам нужно найти расстояние между точкой $O$ и серединой отрезка $AB$, где $AB$ - это большая основа трапеции.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения этого расстояния. Пусть $x$ - это расстояние от точки $O$ до середины отрезка $AB$. Тогда:

$x^2 + r^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

Подставляем известные значения:

$x^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = \left(\frac{18+20}{2}\right)^2$

$x^2 + \frac{h^2}{4} = 19^2$

$x^2 = 19^2 - \frac{h^2}{4}$

Также мы знаем, что расстояние между точкой $O$ и серединой отрезка $AB$ равно полусумме диагоналей трапеции:

$x = \frac{d_1 + d_2}{2}$

где $d_1$ и $d_2$ - это диагонали трапеции. Но мы не знаем значение диагоналей.

Заметим, что диагонали трапеции и радиус вписанного круга образуют прямоугольный треугольник. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы связать диагонали и радиус:

$d_1^2 + d_2^2 = (a+b)^2 + 4r^2$

Подставляем известные значения:

$$$$