Question

В треугольнике АВС АВ=ВС. На медиане ВЕ отмечена точка М, а на сторонах АВ и ВС- точки Р и К соответственно.( Точки Р,М и К не лежат на одной прямой)Известно,что угол ВМР=ВМК.Докажте,что: а)ВРМ и ВКМ равны б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны

Answer 1

 а)   Если в треугольнике АВС АВ=ВС, значит он равнобедренный. А в равнобедренных треугольниках медианой является и высотой и биссектрисой, это доказывает что треугол. АВЕ=ЕВС. И если эти точки расположены на сторонах и биссектрисе тогда они находятся на одинаковом расстоянии - и они равны. Т.е ВРМ=ВКМ.
  б)   Если ве высота , то образует прямой угол, и если мы доказали что Р и К на одном расстоянии то ВЕ перпендикулярен РК и образуют прямые углы.

Answer 2

Для начала заметим, что из условия $AV = VC$ следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, то есть $AB = BC$.

а) Докажем, что треугольники $BMR$ и $BMK$ равны. Поскольку точка $M$ лежит на медиане $BE$, она делит её пополам, то есть $BM = ME$. Также по условию имеем $\angle BMR = \angle BMK$. Поэтому, по стороне-уголу-стороне (СУС), треугольники $BMR$ и $BMK$ равны.

Теперь заметим, что треугольники $BRM$ и $CKM$ подобны, так как у них углы $BMR$ и $BMK$ равны, а углы $\angle RMB$ и $\angle KMC$ являются соответственными углами, так как точка $M$ лежит на медиане. Из подобия треугольников следует, что соотношения между их сторонами равны:

$\frac{BR}{CK} = \frac{BM}{KM}.$

Но по условию имеем $\angle BMR = \angle BMK$, поэтому треугольники $BMR$ и $BMK$ равны, и их стороны соответственно равны: $BR = BK$ и $RM = KM$. Подставляя это в предыдущее равенство, получим:

$\frac{BR}{CK} = \frac{RM}{KM}.$

Отсюда следует, что треугольники $BMR$ и $CKM$ равны по стороне-стороне-стороне (ССС), и у них соответствующие углы $\angle BMR$ и $\angle KMC$ равны. Следовательно, $\angle BRM = \angle CKM$.

Но угол $\angle BRM$ также равен углу $\angle VRM$, так как точка $M$ лежит на медиане $BE$, поэтому $\angle VRM = \angle CKM$. Из этого следует, что треугольники $VRM$ и $CKM$ равны по углу-стороне-углу (УСУ), и стороны $VR$ и $CK$ соответственно равны. Аналогично, можно доказать, что треугольники $VKM$ и $BRM$ равны, и стороны $VK$ и $BR$ соответственно равны.

Таким образом, треугольники $VRM$ и $CKM$ равны, а треугольники $VKM$ и $BRM$ равны, причём их ст