Question

Площа квадрата, вписаного в коло, дорівнює 16 см2. Знайдіть площу сегмента, основою якого є сторона квадрата.

Answer 1

Площадь квадрата, вписанного в круг, равна 16 см². Найти площадь сегмента, основанием которого является сторона квадрата.

1. Находим сторону квадрата: S=a²  => a=√S = √16 = 4 (см)
2. Находим диагональ квадрата, которая является диаметром        описанного круга:
                                   D²=2a²  => D=√(2a²) = √32 = 4√2 (см)
3. Находим площадь круга:
                                               S₁= 1/4 πD² = 8π = 25,12 (см²)
4. Площадь четырех искомых сегментов круга равна разности между площадью круга и площадью вписанного квадрата:
                                                4S' = S₁ - S = 25,12 - 16 = 9,12
                                                  S' = 9,12 : 4 = 2,28 (см²)
Ответ: 2,28 см²
                        

Answer 2

Для вирішення цієї задачі спочатку необхідно знайти радіус кола, в яке вписаний квадрат.

Оскільки діагональ квадрата дорівнює діаметру кола, ми можемо знайти радіус, розділивши діагональ квадрата на 2:

$r = \frac{d}{2}$,

де d - діагональ квадрата.

Так як сторона квадрата складається з двох радіусів і є діаметром кола, то сторона квадрата дорівнює:

$s = 2r$

Тому ми можемо знайти сторону квадрата за формулою:

$s = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Підставляючи дані з умови задачі, отримуємо:

$\frac{d}{\sqrt{2}} = \sqrt{16} = 4$

$d = 4\sqrt{2}$

$r = \frac{d}{2} = 2\sqrt{2}$

Тепер можемо знайти площу сегмента кола, основою якого є сторона квадрата.

Площа сегмента кола залежить від центрального кута $\alpha$, який визначається стороною сегмента. Знайдемо спершу цей кут:

$\alpha = 2 \arcsin{\frac{s}{2r}}$

$\alpha = 2 \arcsin{\frac{4}{2\sqrt{2}}}$

$\alpha \approx 90^\circ$

Тому сегмент кола буде прямокутним трикутником з катетами 4 см і $r - s = 2\sqrt{2} - 4$ см.

Площа такого трикутника дорівнює:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (2\sqrt{2} - 4) = 4\sqrt{2} - 8$

Отже, площа сегмента кола дорівнює $S = S_{\triangle} + S_{\text{сектора}}$, де $S_{\text{сектора}}$ - площа сектора кола, відповідного куту $\alpha$.

$S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi (2\sqrt{2})^2 = 2\pi$

$S = S_{\triangle} + S_{\text{сектора}} = 4\sqrt{2} - 8 + 2\pi \approx 1.28 +