Question

Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Answer 1

Построим равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. Проведем высоты АД и ВЕ.
Рассмотрим треугольники ACД и BCЕ.
AC=BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника), угол АСВ - общий, углы AДC=BЕC=90 (так как AД и BЕ высоты).
Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
В треугольнике ACД угол CAД=180-(AДC+АСВ)=180 - 90 - АCВ=90-АСВ градусов.
В треугольнике BCЕ угол CBЕ=180- (BЕC+АСВ)=180- 90 -АСВ=90-АCВ градусов.
Значит: углы CAД=CBЕ.
Следовательно, треугольники ACД и BCЕ равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Так как треугольники ACД и BCЕ равны то и соответствующие стороны равны: AД=BЕ.

Answer 2

Для доказательства равенства двух высот в равнобедренном треугольнике мы воспользуемся свойствами этого треугольника.

Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Проведем высоты BD и CE из вершин B и C соответственно, перпендикулярно основанию AC.

Чтобы доказать, что BD = CE, мы можем использовать два подхода:

1. С использованием подобия треугольников: Рассмотрим треугольники ABD и ACE. У них углы при вершине A равны, так как треугольник ABC равнобедренный. У них также углы при вершине D и E равны 90 градусов, так как высоты проведены перпендикулярно основанию AC. Таким образом, треугольники ABD и ACE подобны по двум углам (Угол-Угол). Так как у них есть два равных угла и они имеют общую сторону AB = AC, то треугольники ABD и ACE подобны по третьему углу (ОУ). Поэтому отношение длин сторон AD и AE равно отношению длин сторон BD и CE, так как соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны. Но AD = AE, так как это равносторонний треугольник, поскольку AB = AC. Следовательно, BD = CE.

2. С использованием свойств прямоугольных треугольников: Рассмотрим треугольники ABD и ACE. У них углы при вершине A равны, и углы при вершине D и E равны 90 градусов, как уже было сказано выше. Таким образом, треугольники ABD и ACE являются прямоугольными треугольниками. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, является медианой и медианой к гипотенузе. Поэтому BD является медианой к гипотенузе AC, а CE является медианой к гипотенузе AB. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к основанию, равны. Поэтому BD = CE.

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном