Question

Ромб с диагоналями 12 см и 16 см служит основанием пирамиды. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна 6,4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Во-первых, сторона ромба - это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого - половины диагоналей 
a^2 = (d1/2)^2 + (d2/2)^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 
a = 10 
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 
S(осн) = d1*d2/2 = 12*16/2 = 96 
Боковое ребро пирамиды - это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого - половина диагонали и высота. 
L1^2 = (d1/2)^2 + h^2 = 6^2 + 6,4^2 = 36 + 40,96 = 76,96 
L1 ~ 8,773 
L2^2 = (d2/2)^2 + h^2 = 8^2 + 6,4^2 = 64 + 40,96 = 104,96 
L2 ~ 10,245 
Площадь треугольника со сторонами (10; 8,773; 10,245) можно найти по формуле Герона. 
p = 14,509; p-a = 4,509; p-b = 4,264; p-c = 5,736 
S(тр) = корень (p(p-a)(p-b)(p-c)) = корень (14,509*4,509*4,264*5,736) = корень (1600) = 40 
Площадь полной поверхности 
S = S(осн) + 4S(тр) = 96 + 4*40 = 256

Answer 2

Для решения этой задачи нужно использовать теорему Пифагора для треугольников, образованных диагоналями ромба.

Для начала найдем половину длины каждой диагонали ромба:

$$\frac{12}{2}=6,\qquad \frac{16}{2}=8$$

Затем найдем боковые грани пирамиды, которые являются равнобедренными треугольниками с основанием, равным половине одной из диагоналей ромба, и высотой, равной высоте пирамиды:

$$\sqrt{(6.4)^2 + 6^2} \approx 8.23 \text{ см}$$

Таким образом, боковые грани имеют площадь:

$$\frac{1}{2} \times 6 \times 8.23 \approx 24.69 \text{ см}^2$$

Теперь найдем площадь основания пирамиды:

$$\frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \text{ см}^2$$

И, наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площади боковых граней:

$$96 + 4\times 24.69 \approx 194.76 \text{ см}^2$$

Ответ: площадь полной поверхности пирамиды составляет приблизительно 194.76 см².