Question

Биссектриса прямого угла треугольника делит его гипотенузу на отрезки, длины которых 15 и 20. Найдите площадб треугольника. Помогитен пожалуйста, мне срочно нужно решение

Answer 1

1)Пусть AC = x, а BC = y. AC-больший катет, а BC - меньший катет. Тогда AB-гипотенуза, а CM - биссектриса.

AB = AM + MB = 20+15 = 35

2)По теореме Пифагора в данно треугольнике AB² = AC² + BC².

35² = x² + y²

3)Мы знаем. что биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. поэтому

AM/AC = MB/BC

20/x = 15/y

Теперь выражу отсюда y:

y = 3x/4

4)В теорему Пифагора подставлю y.

x² + (3x/4)² = 35²

x² + 9x²/16 = 35²

Домножу на 16 это уравнение:

16x² + 9x² = 35² * 16

25x² = 35² * 16

отсюда x = 28

y = 3 * 28/4 = 21

S(ABC) = 0.5 * xy = 0.5 * 588 = 294

Answer 2

Вот смотрите. Отношение отрезков равно отношению катетов 15/20 = 3/4; то есть треугольник подобен "египетскому" со сторонами (3,4,5). Поскольку длина гипотенузы равна 35, то это  - треугольник со сторонами (21, 28, 35) - все стороны просто умножены на 35/5 = 7; 

Площадь треугольника равна 21*28/2 = 294. 

 

На самом деле я считал в уме, и вот как. Площадь "египетского" тр-ка 3*4/2 = 6;

а площадь искомого тр-ка в 7^2 = 49 раз больше. 6*49 = 6*(50-1) = 300 - 6 = 294.