Question

в трапеции ABCDс основаниями AD и AB диагонали пересекаются в точке P .Докажите что площадь треугольников APB и CPD равно. плиз помогите срочно

Answer 1

Если рассмотреть площади треугольников АВС и BCD, 
то нетрудно заметить: 
S(ABC) = S(ABP) + S(BPC) 
S(BCD) = S(CPD) + S(BPC) --- видим одинаковые слагаемые)))
т.е. доказав равенство площадей треугольников АВС и ВСD, 
мы докажем требуемое)))))))
треугольники АВС и ВСD имеют общую сторону...
если в каждом из этих треугольников провести высоты к этой общей стороне (ВС))), 
то эти высоты окажутся равными --- как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными основаниями трапеции)))
значит и площади равны...

Answer 2

Для доказательства того, что площадь треугольников APB и CPD равна, можно воспользоваться тем, что диагонали трапеции делят ее на две равные части. То есть площадь верхней части трапеции равна площади нижней части.

Рассмотрим треугольник APB. Его площадь можно выразить через высоту h из вершины P до стороны AB, так как основание AB уже известно. Используя теорему Пифагора для треугольника PAB, можно выразить h через длины сторон треугольника:

h^2 = PA^2 - (AB/2)^2

Аналогично, для треугольника CPD площадь можно выразить через высоту h' из вершины P до стороны CD:

h'^2 = PC^2 - (AD/2)^2

Поскольку диагонали трапеции пересекаются в точке P, то точки A, B, C и D лежат на одной окружности с центром в точке P. Тогда можно воспользоваться теоремой о равенстве противоположных углов для доказательства того, что треугольники APB и CPD подобны:

∠PAB = ∠PCD (противоположные углы при пересечении хорды AB диагонали AC) ∠PBA = ∠PDC (противоположные углы при пересечении хорды AB диагонали BD)

Таким образом, треугольники APB и CPD подобны с коэффициентом пропорциональности AB/CD. Значит, их площади также относятся как квадраты соответствующих сторон:

S(APB)/S(CPD) = (AB/CD)^2

Поскольку трапеция ABCD имеет основания AD и AB, то AB/CD = AD/DC, что дает:

S(APB)/S(CPD) = (AD/DC)^2

Но так как диагонали трапеции равны, то AD = BC и DC = AB. Следовательно,

S(APB)/S(CPD) = (AD/DC)^2 = (BC/AB)^2 = 1

То есть площади треугольников APB и CPD равны.