Question

В четырехугольнике AВСD известны площади: S1 треугольника ABO=10, S2 треугольника ВОС=20, S3 треугольника СОD=60. Найти площадь ABCD (т.О - точка пересечения диагоналей).

Answer 1

Пусть  ОА = Х1 ,  ОВ = Х2 ,  ОС = Х3 ,  OD = X4 , а угол между диагоналями α .

Тогда  S AOB = X1 * X2 * sin α / 2

           S BOC = X2 * X3 * sin (π - α) / 2 = X2 * X3 * sin α / 2

           S COD = X3 * X4 * sin α / 2

           S DOA = X4 * X1 * sin (π - α) / 2 = X4 * X1 * sin α / 2

Из полученных выражений видно, что  S AOB * S COD = S BOC * S DOA

Тогда  S DOA = S AOB * S COD / S BOC = 10 * 60 / 20 = 30 ,

a  S ABCD = S DOA + S AOB + S COD + S BOC = 30 + 10 + 60 + 20 = 120

Answer 2

Пусть $S_{ABCD}$ - искомая площадь четырехугольника $ABCD$, $S_{ACO}$ и $S_{BCO}$ - площади треугольников $ACO$ и $BCO$ соответственно. Тогда мы можем выразить $S_{ABCD}$ через известные площади следующим образом:

$S_{ABCD} = S_{ACO} + S_{BCO} + S_{ABO} + S_{CDO}$

Мы можем найти $S_{ACO}$ и $S_{BCO}$ с помощью формулы площади треугольника:

$S_{ACO} = \frac{1}{2}AC \cdot OD \cdot \sin{\angle AOD}$

$S_{BCO} = \frac{1}{2}BC \cdot OD \cdot \sin{\angle BOD}$

Заметим, что диагональ $OD$ является высотой треугольников $ACO$ и $BCO$.

Также мы можем использовать свойство, что точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам, и выразить длины $AC$ и $BC$ через длины $AD$, $BD$ и длину пересечения диагоналей $OD$:

$AC = 2 \cdot \sqrt{AD^2 - \frac{1}{4}OD^2}$

$BC = 2 \cdot \sqrt{BD^2 - \frac{1}{4}OD^2}$

Теперь мы можем выразить все известные площади через длины сторон и диагонали:

$S_{ABO} = \frac{1}{2}AB \cdot OD \cdot \sin{\angle ABO} = \frac{1}{2}\cdot\sqrt{AD^2+BD^2+\frac{1}{2}OD^2}\cdot\frac{1}{2}OD\cdot\sin{\angle ABO} = \frac{1}{4}\sqrt{AD^2+BD^2+\frac{1}{4}OD^2}\cdot OD\cdot\sin{\angle ABO}$

$S_{CDO} = \frac{1}{2}CD \cdot OD \cdot \sin{\angle CDO} = \frac{1}{2}\cdot\sqrt{AD^2+BD^2+\frac{1}{2}OD^2}\cdot\frac{1}{2}OD\cdot\sin{\angle CDO} = \frac{1}{4}\sqrt{AD^2+BD^2+\frac{1}{4}OD^2}\cdot OD\cdot\sin{\angle CDO}$

Теперь мы можем выразить $S_{ABCD}$ через известные площади и длины:

$$$$