Question

в правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 12, а боковые рёбра равны 24.Точка G принадлежит ребру MA, причём MG:GA=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки В и G параллельно прямой АС

Answer 1

Очень много раз эта задача тут выложена, я делаю в последний раз.

Пусть b=24; a = 12; О - центр основания, МО - высота пирамиды, сечение пересекает MD в точке Q, МС в точке Р, МО в точке К. Надо найти площадь четырехугольника BGQP. 

Плоскость сечения II АС, поэтому GP II AC, откуда MG/GA = МК/КО = MP/PC = 2/1;

то есть 

1. GP = (2/3)*AC = a*2√2/3; (из подобия треугольников AMC и GMP)

2. К - точка пересечения медиан треугольника MDB. То есть MQ = DQ;

И еще, поскольку у квадрата диагонали перпендикулярны, AC перпендикулярно плоскости треугольника MDB, откуда следует, что GP перпендикулярно BQ, то есть площадь S четырехугольника BGQP равна S = BQ*GP/2;

Остается найти медиану m = BQ равнобедренно треугольника MDB с боковыми сторонами MD = MB = b = 24; и основанием BD = a√2; (a = 12);

(2*m)^2 = 2(a√2)^2 + b^2;

m = (1/2)*√(4*a^2 + b^2);

S = (1/2)*(a*2√2/3)*(1/2)*√(4*a^2 + b^2) = (1/6)*a*√(8*a^2 + 2*b^2);

ну и надо подставить числа.

если b = 2*a, то S = (2/3)*a^2 = 96;

 

Answer 2

Для решения задачи нам нужно найти высоту пирамиды, проходящую через вершину M, и затем найти площадь сечения пирамиды параллельно прямой АС.

Обозначим через H высоту пирамиды, проходящую через вершину M. Так как пирамида MABCD - правильная, то основание ABCD - квадрат, и сторона квадрата равна 12. Рассмотрим прямоугольный треугольник MGD с прямым углом в точке G. По условию задачи, отношение MG:GA равно 2:1, то есть MG = 2/3 * MA. Так как боковые ребра пирамиды равны 24, то AM = 3 * 24 = 72, и следовательно, MG = 2/3 * 72 = 48. Рассмотрим теперь треугольник MGB. По теореме Пифагора, MB = sqrt(MG^2 + BG^2). Заметим, что треугольник MGB подобен треугольнику MCD, так как они имеют две соответственные стороны, равные 24 и 12 соответственно. Поэтому отношение сторон треугольников MGB и MCD равно 2:1. Значит, MB = 2/3 * MC = 2/3 * 24 = 16. Таким образом, мы нашли все стороны прямоугольника BGMС: BG = 12, GM = 48, MB = 16, и MC = 24.

Теперь найдем высоту пирамиды, проходящую через вершину M. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике MGB: MH^2 = MG^2 - BG^2 = 48^2 - 12^2 = 2256. Тогда высота H равна H = sqrt(2256) ≈ 47.5.

Наконец, найдем площадь сечения пирамиды, проходящего через точки В и G параллельно прямой АС. Площадь такого сечения равна площади прямоугольника BGMС, умноженной на отношение расстояний между этим прямоугольником и вершиной пирамиды M. Поскольку пирамида MABCD правильная, расстояние от вершины M до основания ABCD равно H/3. Следовательно, площадь сечения равна S = (BG * MC) * (H