Question

Помогите с геометрией за 8 класс!  1) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 8, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок, соединяющий точки пересечения биссектрис с боковыми сторонами, равен 2. Найти площадь треугольника.2) Диагональ равнобедренной трапеции равна 10 см, а площадь равна 48 см2. Найти высоту трапеции.желательно с пояснениями! Спасибо огромное!!

Answer 1

1) отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону, равны 8*x и a*x, где а - неизвестное основание, x тоже неизвестен. Зато известно вот что:
a/2 = 8/(8*x); a/2 = 1/x;
8*x + a*x = 8; 1/x = 1 + a/8;
Отсюда a/2 = 1 + a/8; a = 8/3; высота h треугольника находится так 
h^2 = 8^2 - (a/2)^2; h = (4/3)*√35; Площадь S  = (1/2)*(8/3)*(4/3)*√35 = (16/9)* √35;
2) В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии (а второй отрезок, на который высота из вершины меньшего основания делит большее, то есть - проекция боковой стороны на основание - равен полуразности оснований, докажите самостоятельно, это элементарно).
Поэтому высота, средняя линяя и диагональ образуют прямоугольный треугольник, произведение катетов которого рано 48, а сумма квадратов равна 10^2;
m^2 + h^2 = 10^2;
m*h = 48;
Отсюда
(m + h)^2 = 196;
(m - h)^2 = 4;
Если m > h, то m + h = 14; m - h = 2; h = 6; m = 8; 
Если m > h, то m + h = 14; h - m = 2; h = 8; m = 6;
то есть - два решения h = 6 или 8;
Ответ можно было бы увидеть сразу, поскольку "египетский" треугольник 6,8,10 удовлетворяет условию. 

Answer 2

1. Обозначим вершину равнобедренного треугольника через $A$ и основание через $BC$. Пусть биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$, а биссектриса угла $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AD$ является биссектрисой угла $BAC$, аналогично $AE$ является биссектрисой угла $ABC$. По условию, отрезок $DE$ равен 2.

Рассмотрим треугольник $ADE$. По теореме о биссектрисе угла, $BD/DC = AB/AC$, то есть $BD = DC$. Значит, точка $D$ находится на середине стороны $BC$, аналогично, точка $E$ находится на середине стороны $AC$. Таким образом, треугольник $ADE$ также является равнобедренным.

Пусть $h$ - высота треугольника $ADE$ из вершины $A$. Тогда площадь треугольника $ADE$ равна $(AD\cdot h)/2$. Так как треугольник $ADE$ равнобедренный, то $h$ является высотой из вершины $A$ для треугольника $ABC$, а отрезок $AD$ является медианой из вершины $A$ для треугольника $ABC$. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ равна $(AD\cdot h)$.

Осталось найти значение $h$. Рассмотрим треугольник $ADE$ и применим теорему Пифагора: $AE^2 = AD^2 + DE^2$. Так как $AD$ является медианой, то $AD = (1/2)BC = 4$. Из условия $DE=2$ следует, что $AE^2 = 4^2 + 2^2 = 20$. Так как $AE$ является биссектрисой угла $ABC$, то $AB/AE = AC/CE$. Значит, $AB = AC\cdot AE/CE$. Но треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $AB = AC$. Следовательно, $AB^2 = AC^2 = AC\cdot AE = 20h$, откуда $h = AB^2/20 = 16/5$. Итак, площадь треугольника $ABC$ равна $(AD\cdot h) = 4\cdot(16/5) = 64/5$.

Ответ: площадь тре