Question

на продолжениях гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC за точками A и B соответственно взяты точки K и M ,причемAK=AC,и BM=BC.Найдите угол MCK.помогите плиз срочно надо решить ,завтро к первой паре,в лицей номер 1523.

Answer 1

В лицей, не в лицей...
пусть угол CKA = угол ACK = α; угол CKM = угол BCM =  β;
тогда угол MCK = 90° +  α + β; и 
α + β + (90° + α + β) = 180°; α + β = 45° ;
откуда угол MCK = 135 °;

Answer 2

Обозначим угол CAB через $\alpha$. Так как треугольник ABC является прямоугольным, то $\angle C = 90^\circ$. Также заметим, что $AK = AC$ и $BM = BC$, то есть треугольники $AKC$ и $BMC$ являются равнобедренными. Из этого следует, что $\angle AKC = \angle BMC = \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $MKC$. Так как $AK = AC$, то $KC = AC - AK = BC$, и аналогично $MC = AB - BM = AB - BC$. Таким образом, треугольник $MKC$ является прямоугольным с углами $\angle MKC = \alpha$ и $\angle KMC = 45^\circ$. Также из теоремы Пифагора имеем: \begin{align*} MK^2 &= CK^2 + CM^2 \ &= (KC \cdot \sin \angle KMC)^2 + (MC \cdot \sin \angle MKC)^2 \ &= (\frac{BC}{\sqrt{2}})^2 + (AB - BC \cdot \sin \alpha)^2 \ &= \frac{BC^2}{2} + (AB^2 - 2AB \cdot BC \cdot \sin \alpha + BC^2 \cdot \sin^2 \alpha) \end{align*}

С другой стороны, из теоремы Пифагора для треугольника $ABC$ имеем: \begin{align*} AB^2 &= AC^2 + BC^2 \ &= AK^2 + KC^2 + BC^2 \ &= BC^2 (1 + \frac{1}{2}) + BC^2 \ &= \frac{3}{2} BC^2 \end{align*}

Таким образом, $MK^2 = \frac{BC^2}{2} + \frac{3}{2} BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \sin \alpha + BC^2 \cdot \sin^2 \alpha = 2 BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \sin \alpha + BC^2 \cdot \sin^2 \alpha$. Поскольку $BC = AB \cdot \cos \alpha$, это можно переписать как $MK^2 = 2 AB^2 \cdot (1 - \cos \alpha)^2$. Из этого следует, что $MK = AB \cdot \sqrt{2} \cdot \sin \alpha$.

Теперь мы можем использовать тригонометрию в треугольнике $MKC$ для нахождения угла MCK: \begin{align*} \sin \angle MCK &= \frac{MK}{KC} \ &= \frac{AB \cdot \sqrt{2} \cdot \sin \alpha}{BC} \ &= \frac{AB \cdot \sqrt{2} \cdot \sin \alpha}{AB \cdot \cos \alpha} \ &= \sqrt{2} \cdot \tan