Question

Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, которая стягивает дугу а. Найдите площадь: сечения, если отрезок, соединяющий центр основания цилиндра с точкой окружности второго основания, равен а и образует с плоскостью основания угол b​

Answer 1

.............................................

Answer 2

Рассмотрим данный цилиндр и плоскость, проходящую параллельно его основанию и пересекающую одно из оснований по хорде. Обозначим через $O$ центр основания цилиндра, а через $A$ и $B$ точки пересечения плоскости с основанием.

Заметим, что точки $A$ и $B$ делят хорду $AB$ пополам, следовательно, длина дуги $a$ равна $AB$, то есть $AB=a$. Также заметим, что отрезок $OA$ является высотой цилиндра, опущенной на основание $AB$.

Поскольку плоскость параллельна основанию цилиндра, то она пересекает боковую поверхность цилиндра по параллельным прямым. Таким образом, сечение цилиндра плоскостью будет являться кругом с диаметром $AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $OAB$. Угол между прямыми $OA$ и $AB$ равен $b$, а значит, угол между прямыми $OB$ и $AB$ также равен $b$. Таким образом, треугольник $OAB$ является прямоугольным, причем угол между гипотенузой $OB$ и катетом $AB$ равен $b$.

Из геометрических соображений следует, что $AB=OA\cdot\sin b$. Но мы уже знаем, что $AB=a$, а $OA$ равно радиусу цилиндра. Обозначим радиус цилиндра через $r$, тогда получаем уравнение:

$a=r\cdot\sin b$

Отсюда находим радиус:

$r=\frac{a}{\sin b}$

Теперь мы можем найти площадь сечения цилиндра плоскостью. Она равна площади круга с радиусом $AB=a$, то есть:

$S=\pi a^2$

Таким образом, площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно основанию и пересекающей его по хорде длины $a$ и образующей угол $b$ с плоскостью основания, равна $\pi a^2$.