Question

В параллелограмме ABCD угол при вершине A равен 60, а биссектрисы углов A и D пересекаются на стороне BC. Найдите длину AC, если периметр параллелограмма ABCD равен 33/V7.

Answer 1

Биссектрисы углов параллелограмма отсекают от него равнобедренные треугольники (свойство). Причем в нашем случае они пересекаются на стороне ВС. Примем боковую сторону параллелограмма за "а". Следовательно Сторона ВС=2*а, а периметр параллелограмма тогда равен 6а=33/√7.  а=.33/(6√7).
Угол В =120° (так как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма в сумме равны 180°). Cos120°= - Cos60° =-1/2.
тогда по теореме косинусов из треугольника АВС имеем:
АС²=а²+4а²+2*а*2а*(1/2) = а²*7. АС=а*√7.  АС=33*√7/(6√7) =33/6 = 5,5.
Ответ: АС=5,5.

Answer 2

Пусть биссектриса угла A пересекает сторону CD в точке E, а биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке F, как показано на рисунке ниже.

Так как угол A равен 60 градусов, то угол C равен 120 градусов. Также из параллельности сторон AB и CD следует, что угол AED равен углу ABC, и угол CFD равен углу ADC. Пусть угол ABC равен x. Тогда из равенства углов треугольника AED следует, что угол ADE равен (180 - x)/2, а из равенства углов треугольника CFD следует, что угол CDF равен (180 - 2x)/2 = 90 - x. Так как угол ADE + угол CDF = 60 градусов, то (180 - x)/2 + (90 - x) = 60, откуда x = 30. Таким образом, угол ABC равен 30 градусов.

Обозначим длину AC через a, а длину BC через b. Тогда из равенства сторон параллелограмма следует, что AB = CD = a + b. Также из треугольника ABC со сторонами a, b и AB = a + b следует, что a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, откуда ab = a^2.

Из треугольника AED со сторонами a, b и AD = CD = a + b и углом AED = 60 градусов следует, что по теореме косинусов:

a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - 2(a + b)b\cos 60^\circ = (a + b)^2 - ab.

Подставляя сюда равенство ab = a^2, получаем:

a^2 + a^2 + b^2 = (a + b)^2 - a^2,

откуда 2a^2 + b^2 = 2ab + 2a^2, или b^2 = 2ab.

Теперь мы можем выразить b через a:

b = √(2ab) = √(2a^3).

Из периметра параллелограмма ABCD = 33/√7 следует:

2(a + b) = 33/√7,

или

a + b = 33/(2√7).

Заменяя b на √(2a^3), получаем уравнение

a + √(2a^3) =