Question

В окружность радиуса 10 вписан треугольник ABC, такой, что угол С больше 90°, а его высота СН делит сторону АВ на отрезки АН=12 и ВН=4. Касательная к окружности, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите длину отрезка BD.

Answer 1

Ответ:

Что-то страшное получилось...

Объяснение:

Как-то так

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольника, вписанного в окружность.

1. Пусть O - центр окружности, а M - середина стороны AB. Тогда, по свойству вписанного угла, угол АOC является прямым углом, а значит, точка C лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

2. Рассмотрим треугольник AHN. Он является прямоугольным, так как CN является высотой, а угол С больше 90°. Поэтому, применяя теорему Пифагора, получаем: AH² = AN² - HN² = 12² - 4² = 144 - 16 = 128. Отсюда, AH = √128 = 8√2.

3. Так как AM является медианой треугольника ABC, то AM = (2/3) * AH = (2/3) * 8√2 = (16/3)√2.

4. Рассмотрим треугольник OMD. Так как OM - радиус окружности, то OM = 10. OD является касательной к окружности, поэтому угол ODC является прямым. Из прямоугольного треугольника ODC мы можем выразить OD через другие стороны: OD² = OC² - CD². Нам известно, что OC = 10 и CD = DM, где DM является высотой треугольника OMD. Нам нужно найти DM.

5. Рассмотрим треугольник DCM. Угол DMC является прямым, поэтому применяя теорему Пифагора, получаем: DM² = CD² - CM². Так как CM = AM - AC = (16/3)√2 - 10, то: DM² = CD² - (16/3)² * 2 - 10² = CD² - 256/9 - 100 = CD² - 256/9 - 900/9 = CD² - 1156/9.

6. Нам также известно, что DM является высотой треугольника OMD. Мы можем выразить DM через другие стороны этого треугольника: DM² = OD² - OM² = OD² - 10².

Теперь у нас есть два уравнения для DM². Их можно приравнять друг к другу и решить получившееся уравнение, чтобы найти значение DM:

CD² - 1156/9 = OD² - 100.

Так как OD = 10, получаем:

CD² - 1156/9 = 10² - 100,

CD