Question

Через точку А, находящуюся на расстоянии 5 см от центра окружности радиуса 11 см, проведена хорда, которую точка А делит в отношении 2:3. Найдите длину этой хорды.

Answer 1

Расстояние между точками О и А: ОA=5 (дано).
Хорда BC=BA+AC или BC=2х+3х=5х.(дано).
Радиус DO=OE=11 (дано).
 DA=DO+OA или DA=16см.
АЕ=ОЕ-ОА или АЕ=6см.
По свойству пересекающихся хорд DA*AE=2X*3X или
(DO+OA)*AE=6X² или 16*6=6X². Отсюда Х=4см и хорда
ВС=4*5=20см. Это ответ.

Answer 2

Пусть точка $B$ - точка пересечения хорды и окружности, а точка $O$ - центр окружности. Также обозначим точку, в которой хорда пересекает радиус, проходящий через точку $A$, как точку $M$.

Так как точка $A$ делит хорду в отношении 2:3, то отрезок $BM$ также делится на две части в этом же отношении. Обозначим длину отрезка $BM$ как $x$. Тогда длина отрезка $AM$ будет $2x$, а длина отрезка $AB$ будет $3x$.

Так как точка $A$ находится на расстоянии $5$ см от центра окружности, а радиус окружности равен $11$ см, то $OM = 11 - 5 = 6$ см.

По теореме Пифагора в треугольнике $OMB$:

$$OB^2 = OM^2 + BM^2$$

Подставляем известные значения:

$$11^2 = 6^2 + x^2$$

Решаем уравнение:

$$x^2 = 11^2 - 6^2 = 115$$

Следовательно, $x = \sqrt{115} \approx 10.72$ см.

Таким образом, длина хорды $AB$ будет равна $3x - 2x = x$, то есть около $10.72$ см.