Question

В ромб с острым углом 60 градусом вписана окружность, радиуса 2 см. Найдите сторону ромба. Подробно, пожалуйста

Answer 1

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. h=2r=4 см.
Площадь ромба можно записать двумя способами: S=a·h=4a и S=a²·sin60=a²√3/2.
4a=a²√3/2,
a=8/√3=8√3/3 см - это ответ.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства геометрических фигур и тригонометрию.

Обозначим сторону ромба как $a$. Так как угол между диагоналями ромба равен $60^\circ$, то стороны ромба являются сторонами равностороннего треугольника, вписанного в этот ромб.

Пусть $O$ - центр вписанной окружности, $A$, $B$, $C$ и $D$ - вершины ромба, где $AC$ и $BD$ - диагонали ромба. Тогда $AO$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$, а также радиусом вписанной окружности ромба. Значит, $AO = 2$ см.

Так как $ABC$ - равносторонний треугольник, то $AB = BC = a$. Из треугольника $AOB$ мы можем выразить $AB$ с помощью тригонометрии:

$\cos 60^\circ = \frac{AO}{AB} = \frac{2}{a}$

Отсюда получаем, что $a = \frac{2}{\cos 60^\circ} = 4$ см.

Итак, сторона ромба равна $4$ см.