Question

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD , в котором BC = 2 AB. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. а) Докажите, что BP : PQ = 1 : 3. б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB = BC.

Answer 1

а) Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, все боковые ребра пирамиды равны, так как имеют равные проекции. Рассмотрим боковые грани трапеции ABS и CBS. Это равнобедренные треугольники. В треугольнике АВS:

Cos(<SBA) = BH1/SB или Cos(<SBA) = BР/АB (из прямоугольного треугольника АВР). ВР=АВ*Cos(<SBA) =АВ*ВН1/SB.

В треугольнике CВS: Cos(<SBC) = BH2/SB или Cos(<SBC) = BQ/BC(из прямоугольного треугольника CВQ). ВQ=BC*Cos(<SBC) =ВС*ВН2/SB.

Но ВС=2АВ (дано). ВН1=АВ/2, ВН2=ВС/2=АВ. (Так как SH1 и SH2 - медианы). Тогда ВР=АВ*(АВ/2)/SB = АВ²/2SB.

ВQ=2АВ*АВ/SB =2АВ²/SB. PQ= BQ-BP =2АВ²/SB -АВ²/2SB= 3AB²/2SB.

BP : PQ = (АВ²/2SB):(3AB²/2SB) = 1:3, что и требовалось доказать.

б) Проведем NP параллельно CQ. Двугранный угол при ребре SB - это угол APN, так как АР перпендикуляр к SB и NP перпендикуляр к SB. По условию Треугольник BSC равносторонний (SB= BC).
Тогда CQ - высота и медиана и BQ=BS/2.
BP/BQ=1/4 (из доказанного выше). => PN=CQ/4 (треугольники ВPN и BQS подобные).
CQ=(√3/2)*BC по формуле высоты для правильного треугольника).

PN=(√3/8)*BC=(√3/4)*AB.

АР=√(АВ²-ВР²) = √(АВ²-(АВ²/4АВ)²) =√(АВ²-(АВ/4)²)=√(АВ²-(АВ/4)²).

АР=АВ√15/4.

AN=√(АВ²-ВN²) = √(АВ²-(BC/4)²) = √(АВ²-(2AB/4)²) =AB√3/2.

По теореме косинусов: Cos<APN)=(AP²+PN²-AN²)/2AP*PN.

Cos<APN)= (3AB²/8)/(AB²*3√5/8) = 1/√5 = √5/5.

Ответ: <APN = arccos√5/5 ≈ arccos(0,447) ≈63,5°.

Answer 2

a) Рассмотрим треугольники SAP и SCQ. Они подобны прямоугольному треугольнику SBO, так как имеют соответствующие прямые углы и соотношение сторон:

SA : SB = SP : PB (из подобия треугольников SAB и SPB) SC : SB = SQ : QB (из подобия треугольников SBC и SQB) SA : SC = AB : BC = 1 : 2 Значит, SP : SQ = PB : QB = SA : SC = 1 : 2. Из этого следует, что PB : PQ = 1 : 3, так как PQ = 2SQ = 2(2PB) = 4PB.

б) Диагональ прямоугольника ABCD равна 2AB, поэтому AC = 2AB√2. Треугольник SAB прямоугольный, так как угол SAB = 90°. Значит, SA = AB√2. Также треугольник SBC прямоугольный, поэтому SB = BC = AB√2. Поэтому высота SO равна SA√2 = AB√2 × √2 = 2AB. Пирамида SABCD является прямой, так как все боковые грани прямоугольные. Значит, двугранный угол при ребре SB равен углу между плоскостями SAB и SBC. Этот угол можно найти с помощью теоремы косинусов в треугольнике SAB: cos α = AB² + SA² - SB² / 2AB × SA = (AB² + (AB√2)² - (AB√2)²) / (2AB × AB√2) = 1 / (2√2) α = arccos(1 / (2√2)) ≈ 35,26°

Значит, двугранный угол пирамиды при ребре SB равен примерно 35,26°.