Question

Докажите что противоположные грани параллепипеда паралельны и равны

Answer 1

Определение: Параллелепипед —   многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Требуется доказать, что противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. 

Докажем на примере оснований АВСD и A1B1C1D1 данного параллелепипеда.

Отрезки А1В1 и АВ параллельны и равны как стороны параллелограмма АА1В1В, отрезки В1С1 и ВС параллельны и равны как стороны параллелограмма ВСС1В1. ⇒

плоскости оснований параллельны по двум пересекающимся прямым.А1В1 и В1С1 одной плоскости и АВ и ВС противоположной.

   Стороны параллелограммов АВСD и A1B1C1D1 равны , соответственные стороны углов А­1B1C1 и ABC образованы параллельными прямыми,⇒ углы равны –  эти параллелограммы равны, (их можно совместить наложением). Аналогично доказывается параллельность и равенство остальных граней. Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны, мы можем использовать свойства параллелепипеда и свойства векторов.

Параллелепипед - это фигура, которая имеет шесть прямоугольных граней. Каждая из граней параллельна и равна своей противоположной грани. То есть, если мы возьмем две противоположные грани параллелепипеда, то мы увидим, что они имеют одинаковую форму и размер.

Для доказательства этого свойства мы можем использовать векторы. Представим параллелепипед в виде трех векторов, которые соответствуют трех ребер, и их точек начала и конца. Пусть эти векторы будут обозначены как a, b и c.

Тогда мы можем записать координаты вершин параллелепипеда как:

A = (0, 0, 0) B = (a1, a2, a3) C = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) D = (b1, b2, b3) E = (c1, c2, c3) F = (a1 + c1, a2 + c2, a3 + c3) G = (b1 + c1, b2 + c2, b3 + c3) H = (a1 + b1 + c1, a2 + b2 + c2, a3 + b3 + c3)

Теперь мы можем рассмотреть две противоположные грани, например, грани ABCD и EFGH. Для этого мы можем рассмотреть векторы AB и EF, BC и FG, CD и GH, и убедиться в том, что они параллельны и равны.

AB = (a1, a2, a3) - (0, 0, 0) = (a1, a2, a3) EF = (a1 + c1, a2 + c2, a3 + c3) - (b1 + c1, b2 + c2, b3 + c3) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)

BC = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) - (a1, a2, a3) = (b1, b2, b3) FG = (b1 + c1, b2 + c2, b3 + c3) - (a1 + c1, a2 + c2, a3 + c3) = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3)

CD = (b1, b2, b3) - (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) = (-a1, -a2, -a3