Question

Сфера, центр которой лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, касается боковых граней пирамиды, в точках пересечения биссектрис боковых граней. Найдите сторону основания пирамиды, если радиус окружности, вписанной в боковую грань пирамиды, равен 1/ корень из 7

Answer 1

Вот я напишу решение, не понравится, можете смело ставить нарушение.
Точки пересечения биссектрис боковых граней равноудалены от центра основания. Следовательно, ВСЕ точки трех окружностей, вписанных в боковые грани, равноудалены от центра основания. Включая, разумеется, и середины ребер основания. То есть - в дополнение к сказанному - к этому множеству равноудаленных точек принадлежат и точки окружности, вписанной в основание. 
Это означает, что существует такая сфера, которая касается всех ребер пирамиды, и центр её лежит в центре основания. Вписанные окружности являются сечениями этой сферы плоскостями граней. Причем сечение основанием является центральным.
На самом деле задача уже решена, и дальше я так коротко.
Пусть пирамида ABCS, O - центр основания, AC касается сферы в точке B1, AS - в точке A2. 
Тогда из сказанного выше следует, что треугольники AA2O и AB1O равны (по трем сторонам). То есть ∠SAO = 30°; 
Пусть AC = a; AS = d; тогда a*2√3/3 = d√3/2;
d = a*2/3;
AB1 = a/2; => SB1 = a*√7/6; 
Отсюда легко выразить через a площадь боковой грани (a^2*√7/12) и ПОЛУпериметр p = a*7/6; откуда a*√7/14 = 1/√7; a = 2;
Может я в арифметике ошибся где-то, проверяйте.

Answer 2

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна "a". Также пусть "r" будет радиусом окружности, вписанной в боковую грань пирамиды.

Треугольник, образованный радиусом окружности, биссектрисой и стороной основания пирамиды, является прямоугольным треугольником. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины биссектрисы.

В прямоугольном треугольнике, сторона основания пирамиды "a" является гипотенузой, а биссектриса является одним из катетов. Другой катет равен радиусу окружности "r".

Используя теорему Пифагора, получаем: a^2 = (2r)^2 + r^2 a^2 = 4r^2 + r^2 a^2 = 5r^2

Мы знаем, что радиус окружности, вписанной в боковую грань пирамиды, равен 1/корень из 7. То есть r = 1/√7.

Подставляя это значение в уравнение a^2 = 5r^2, получаем: a^2 = 5 * (1/√7)^2 a^2 = 5/7

Чтобы найти сторону основания пирамиды "a", возьмем квадратный корень из обеих частей: a = √(5/7)

Таким образом, сторона основания пирамиды равна √(5/7).