Question

В треуг. АВС угол В 120. АА1, ВВ1, СС1 – биссек. его внутренних углов. Док-ть, что угол А1В1С1 – прямой.

Answer 1

здесь можно использовать тот факт, что смежный к углу в 120 градусов угол = 60 градусов

продолжим сторону АВ и опустим из А1 _|_ на АВ (обозначим точку М)

также построим перпендикуляры из А1 к стороне АС (АС2) и биссектрисе ВВ1 (АВ2):

А1М _|_ АВ, А1С2 _|_ АС, А1В2 _|_ ВВ1

точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла (верно и обратное утверждение: равноудаленная от сторон угла точка лежит на биссектрисе этого угла).

А1 по построению лежит на биссектрисе угла САВ => А1М=А1С2

т.к. смежный к углу АВС угол СВМ = 60 градусов = СВВ1=В1ВА, то А1В ---биссектриса угла МВВ1 => А1М = А1В2 = А1С2

а теперь из равенства А1В2 = А1С2 делаем вывод, что А1В1 будет биссектрисой угла СВ1В

т.е. углы СВ1А1 = А1В1В равны.

аналогичные построения и рассуждения докажут, что В1С1 ---биссектриса угла ВВ1А (здесь продолжить сторону СВ, угол смежный с СВА ---АВК=60 градусов... и опускать перпендикуляры из С1 на АС, СВ, ВВ1)

итак, получили равенство углов: СВ1А1 = А1В1В и ВВ1С1 = С1В1А

развернутый угол СВ1А = 180 = СВ1А1+А1В1В+ВВ1С1+С1В1А = 2*А1В1В + 2*ВВ1С1 = 

2*(А1В1В + ВВ1С1) = 2*А1В1С1 =>

А1В1С1 = 180/2 = 90 градусов

 

Answer 2

Для доказательства, что угол А1В1С1 является прямым, мы можем воспользоваться тем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 являются биссектрисами внутренних углов треугольника АВС.

Поскольку АА1 является биссектрисой угла А, она делит этот угол на два равных угла. Пусть эти углы обозначаются как АА1В и АА1С. Таким образом, углы АА1В и АА1С равны.

Аналогично, поскольку ВВ1 является биссектрисой угла В, она делит этот угол на два равных угла. Пусть эти углы обозначаются как ВВ1А и ВВ1С. Таким образом, углы ВВ1А и ВВ1С равны.

Наконец, поскольку СС1 является биссектрисой угла С, она делит этот угол на два равных угла. Пусть эти углы обозначаются как СС1А и СС1В. Таким образом, углы СС1А и СС1В равны.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник А1В1С1, образованный биссектрисами треугольника АВС. Углы А1 и В1 являются половинами соответствующих углов треугольника АВС, поскольку А1А и В1В являются биссектрисами соответствующих углов. То есть, углы А1 и В1 равны половине углов А и В.

Таким образом, угол А1В1С1 может быть записан как сумма угла А1, угла В1 и угла С1. Поскольку углы А1 и В1 являются половинами соответствующих углов А и В, сумма угла А1 и угла В1 равна половине суммы углов А и В. Это можно записать как (1/2)(А + В).

Также, поскольку углы АА1В и АА1С равны, и углы ВВ1А и ВВ1С равны, мы можем записать сумму угла А1 и угла С1 как (1/2)(А + С).

Таким образом, угол А1В1С1 равен (1/2)(А + В) + (1/2)(А + С), что можно упростить до (