Question

в кубе АВСДА1В1С1Д1 проведено сечение через вершину А середину ребра ВС и центр грани ДСС1Д1. вычислите площадь сечения если сторона куба равна а

Answer 1

Проще всего оказалось решить эту задачу методом треугольников по Герону.
По построению найдены координаты точек пересечения рёбер СС1 и ДД1 (для упрощения длина ребра взята равной 1).
Координаты точки А:   ax     ay      az
                                          1      0        0.
Координаты точки К:    bx     by     bz
                                          0     0.5     0.
Координаты точки С2:  cx   cy     cz
                                          0     1      0.3333.
Находим длины сторон:     АК                   КС2               АС2
                                        1.118034      0.6009252       1.45297.
Здесь сторона АС2 является диагональю четырёхугольника, получившегося в сечении.
Отсюда находим площадь треугольника АКС2:
Периметр равен Р = 3.1719255,
полупериметр равен Р/2 = 1.58596.
S AKC2= 0.3118048.
Теперь переходим ко второму треугольнику АС2Д2:
Координаты точки А:   ax     ay      az 
                                          1      0        0.
Координаты точки С2:  cx      cy        cz 
                                          0        1      0.3333.
Координаты точки Д2:  cx      cy       cz
                                           1       1      0.6667.
Длины сторон равны:  АС2               С2Д2                АД2
                                 1.4529663       1.0540926         1.20185.
Периметр равен Р =  3.7089093,
полупериметр равен Р/2 =  1.85445.
S AС2Д2 = 0.6236096.
Сумма площадей треугольников равна площади искомого сечения:
S AКС2Д2=  0.3118048 + 0.6236096 =  0.935414364 а².

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нужно понимать, как выглядит сечение, проведенное через вершину А, середину ребра ВС и центр грани ДСС1Д1. Сечение проходит через три точки, поэтому оно представляет собой плоскость, проходящую через эти три точки.

Чтобы найти площадь этого сечения, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем координаты точек В, С, S1 и D1.

Так как сторона куба равна а, то координаты этих точек можно выразить как:

B = (a/2, -a/2, a/2) C = (a/2, -a/2, -a/2) S1 = (a/2, 0, -a/2) D1 = (a/2, a/2, 0)

2. Найдем векторы AB, AM и AD, где M - середина ребра ВС.

AB = B - A = (a/2, -a/2, a/2) - (0, 0, 0) = (a/2, -a/2, a/2) AM = (B + C)/2 - A = ((a/2, -a/2, a/2) + (a/2, -a/2, -a/2))/2 - (0, 0, 0) = (a/2, -a/2, 0) AD = D - A = (a/2, a/2, 0) - (0, 0, 0) = (a/2, a/2, 0)

3. Найдем векторное произведение векторов AB и AM, чтобы найти нормаль к плоскости сечения.

AB x AM = (a/2, -a/2, a/2) x (a/2, -a/2, 0) = (a^2/4, a^2/4, a^2/4)

4. Нормализуем найденный вектор, чтобы получить единичную нормаль к плоскости сечения.

n = (a^2/4, a^2/4, a^2/4) / sqrt(3a^2/4) = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3))

5. Найдем расстояние от точки A до плоскости сечения, используя уравнение плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точки A, M и D, имеет вид:

ax + by + cz + d = 0,

где (a, b, c) - единичная нормаль к плоскости, а d = -(ax0 + by0 + cz0), где (x0, y0, z0) - координаты точки, лежащей на плоскости.

Подставляя