Question

В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС=5см, ВС=12см из вершины прямого угла С на гипотенузу опущена высота СD. Найдите /в кв.см/ площадь треугольника ADC.

Answer 1

1. Cпособ. Площадь треугольника АВС: S=(12*5)/2=30cм2. Треугольники АDC и ВDC подобны (по острому углу). Коэффициент подобия k=5/12. Площади этих треугольников относятся как k^2. S(ADC) /S(BDC) =(5/12)^2=25/144. S(ADC) =(30/(25+144))*25=4 74/169см2

2 способ. Найдём гипотенузу АВ по т. Пифагора. АВ^2=АС^2+ВС^2=5^2+12^2=169, АВ=13. Высота CD= (AC*BC) /AB=(5*12)/13=60/13. AD=AC^2/AB=25/13.
S(ABD)=(60/13)*(25/13)*(1/2)=750/169=4 74/169см2

Answer 2

Гипотенуза по теореме Пифагора равна АВ=√(25+144) = 13

Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

AC^2=AD*AB

25=AD*13

AD=25/13

CD=√(25-625/169)=3600/169

S=1/2ab

S=1/2*5*3600/169=9000/169

Answer 3

Первым шагом нужно найти длину гипотенузы треугольника $ABC$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 5^2 + 12^2$

$AB^2 = 169$

$AB = 13$

Затем, по определению высоты, точка $D$ делит гипотенузу $AB$ на две отрезка, $AD$ и $DB$, такие что:

$AD=\frac{AC\cdot AB}{BC+AB}$

$BD=\frac{BC\cdot AB}{BC+AB}$

Подставляя значения, получаем:

$AD=\frac{5\cdot 13}{12+13}=\frac{65}{25}$

$BD=\frac{12\cdot 13}{12+13}=\frac{156}{25}$

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника $ADC$, и можем использовать формулу для площади треугольника через длины сторон и полупериметр:

$S_{ADC}=\sqrt{p(p-AD)(p-CD)(p-AC)}$

где $p$ - полупериметр треугольника $ADC$:

$p=\frac{AD+CD+AC}{2}$

$p=\frac{\frac{65}{25}+\sqrt{13^2-\left(\frac{156}{25}\right)^2}+5}{2}$

$p=\frac{65}{50}+\frac{\sqrt{5\cdot 419}}{50}$

$p=\frac{13+\sqrt{2095}}{10}$

Тогда:

$S_{ADC}=\sqrt{\frac{13+\sqrt{2095}}{10}\cdot\left(\frac{13+\sqrt{2095}}{10}-\frac{65}{25}\right)\cdot\left(\frac{13+\sqrt{2095}}{10}-5\right)\cdot\left(\frac{13+\sqrt{2095}}{10}-CD\right)}$

$S_{ADC}=\sqrt{\frac{13+\sqrt{2095}}{10}\cdot\frac{6}{25}\cdot\frac{3+\sqrt{2095}}{10}\cdot\frac{8-\sqrt{2095}}{10}}$

$S_{ADC}=\frac{3}{100}\sqrt{2095-13\sqrt{2095}}$

$S_{ADC}\approx 2.4$ кв.см (округляя до одного десятичного места).

Таким образом, площадь треугольника $ADC$ составляет около 2.4 квадратных сантиметра.