Question

Відстань між основами медіани і висоти, проведеними до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнюють 7 см. Знайдіть катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 50 см

Answer 1

трикутник АВС, кут С=90,, АВ=50, СМ-медіана, АМ=ВМ=1/2АВ=50/2=25, СН-висота, МН=7, в прямокутному трикутнику медіана проведена на гіпотенузу=1/2гіпотенузі=50/2=25, трикутник НСМ прямокутний, СН=корінь(СМ в квадраті-МН в квадраті)=корінь(625-49)=24, АН=АМ-МН=25-7=18, трикутник АСН прямокутний, АС=корінь(СН в квадраті+АН в квадраті)=корінь(576+324)=30, ВС=корінь(АВ в квадраті-АС в квадраті)=корінь(2500-900)=40

Answer 2

Позначимо катети прямокутного трикутника як a та b, а гіпотенузу як c. Тоді за теоремою Піфагора маємо:

c² = a² + b²

За властивостями медіани, медіана з основи відрізняється на третю частину від довжини всієї основи. Тобто, якщо m - медіана, то маємо:

m = (2/3)*b

За властивостями висоти, площа трикутника може бути обчислена за формулою:

S = (1/2)ah

де h - висота, проведена до гіпотенузи. Перепишемо цю формулу, виражаючи висоту:

h = (2S)/c = (2(1/2)ab)/c = (a*b)/c

Тепер ми можемо скласти рівняння за умовою задачі:

m - h = 7

(2/3)b - (ab)/c = 7

Замінимо m на вираз, що виражається через b:

(2/3)b - (ab)/c = 7

(2/3)b - (a/2)(2*b/c) = 7

(2/3)*b - (a/2)*m = 7

Також ми маємо рівняння за теоремою Піфагора:

a² + b² = c² = 50²

Підставимо вираз для m з першого рівняння в друге рівняння:

a² + b² = c² = 50²

a² + b² = (2/3)*b² + 2bm/3 + h²

a² + b² = (2/3)*b² + 2ba/3c + (ab/c)²

a² + b² = (2/3)*b² + 2ba/3c + (ab)²/c²

Замінимо c² на a² + b²:

a² + b² = (2/3)*b² + 2ba/3c + (ab)²/(a²+b²)

Замінимо b² на c² - a²:

a² + c² - a² = (2/3)*(c² - a²) + 2a(c/3) + a²c²/(c²-a²)

c² - a² = (2/3)*c² - (2/3)*a² + (2/3)*ac + (a²c²)/(c²-a²)

Зведемо рівняння до спільного знаменника:

(c² - a²)*(c² - a²)