Question

В параллелограмме KLMN точка E-середина стороны LM. Известно,что EK=EN.докажите,что данный параллелограмм-прямоугольник.

Answer 1

Если Р - середина KN, то в треугольнике KEN EP - медиана, и (поскольку треугольник равнобедренный) одновременно - высота. Поэтому EP перпендикулярно KN. Но ЕР II MN. Поэтому MN перпендикулярно KN. Значит, KLMN - прямоугольник.

 

(Почему ЕР II MN? Ну, например, потому, что EMNP - тоже параллелограмм. Тут можно сослаться на пропорциональность отрезков LE, ЕМ и KP, PN и теорему о пропорциональных отрезках между параллельными линиями. Хотя вообще-то это очевидно, что линия, соединяющая середины противоположных сторон параллелограмма, параллельна сторонам. Можно и так - фигуры LEPK и EMNP накладываются друг на друга при параллельном переносе - при сдвиге на длину ЕМ вдоль LM, то есть они равны. Отсюда равны соответственные углы при прямых ЕР и MN и секущей LM. Как ни удивительно, это - строгое доказательство, потому что определение равенства фигур именно в этом и заключается - что они совпадают при каком-то переносе без деформации - или при зеркальном отражении).

 

Answer 2

Для доказательства, что параллелограмм KLMN является прямоугольником, нам необходимо использовать свойства параллелограммов.

В параллелограмме KLMN у нас есть следующие известные условия:

1. Точка E является серединой стороны LM, то есть LE = EM.
2. Дано, что EK = EN.

Мы должны доказать, что KLMN является прямоугольником.

Рассмотрим треугольник LEN. Из условия 1, у нас есть LE = EM. Также, из условия 2, EK = EN. Это означает, что у треугольника LEN две стороны равны, что указывает на равнобедренность треугольника.

Теперь рассмотрим треугольник KEN. У нас есть EK = EN, что означает равенство двух сторон. Также, угол LEN равен углу KEN, так как они соответственно являются вертикальными углами и их стороны равны. Это указывает на равенство двух сторон и углов в треугольнике KEN, что делает его равнобедренным.

Из равнобедренности треугольника KEN следует, что угол EKN равен углу ENK.

Теперь обратимся к параллелограмму KLMN. У нас есть следующие пары равных углов: угол LEN равен углу KEN и угол EKN равен углу ENK. Таким образом, все углы параллелограмма KLMN равны, что делает его прямоугольником.

Таким образом, мы доказали, что если точка E является серединой стороны LM и EK = EN в параллелограмме KLMN, то данный параллелограмм является прямоугольником.