Question

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной 8 см и углом 60 градусов. Высота параллелепипеда равна меньшей диагонали ромба. Найдите объем параллелепипеда.

Answer 1

Площадь ромба:
                             S = a² * sinα = 8² * sin60° = (64√3)/2 = 32√3

Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и
половина меньшей диагонали лежит напротив угла α/2 = 30°,
то длина половины меньшей диагонали равна половине диагонали треугольника, то есть стороне ромба:
                 d₁/2 = a/2   =>  d₁ = a = 8 (см)

Или так:
Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю, является равнобедренным с углом при вершине α = 60°.
Значит 2 угла при основании равны также 60° и данный треугольник является равносторонним.
Следовательно, d₁ = a = 8 (см)
Таким образом, h = d₁ = 8 (см), где h - высота параллелепипеда

Объем параллелепипеда:
                           V = Sh = 32√3 *8 = 256√3 ≈ 443,4 (см³)

Ответ: 443,4 см³

Answer 2

Чтобы найти объем прямого параллелепипеда, нам нужно умножить площадь его основания на высоту.

Для начала найдем площадь основания, которым является ромб. Площадь ромба можно найти, умножив половину произведения длин его диагоналей. Так как в задаче у нас известна только сторона ромба, нам необходимо найти его диагонали.

Известно, что сторона ромба равна 8 см, а угол между сторонами 60 градусов.

Диагонали ромба можно найти, используя формулы: Длинная диагональ (D) = 2 * сторона * sin(60°) Короткая диагональ (d) = 2 * сторона * sin(30°)

Синусы 60 градусов и 30 градусов равны: sin(60°) = √3/2 sin(30°) = 1/2

Подставим значения в формулы: D = 2 * 8 * √3/2 = 8√3 см d = 2 * 8 * 1/2 = 8 см

Теперь, когда мы знаем длину диагоналей ромба, можем найти площадь основания: S = (D * d)/2 = (8√3 * 8)/2 = 32√3 см²

Затем, нам нужно найти высоту параллелепипеда, которая равна меньшей диагонали ромба. В данном случае, это короткая диагональ d, которая равна 8 см.

Теперь мы можем найти объем параллелепипеда, умножив площадь основания на высоту: V = S * h = 32√3 * 8 = 256√3 см³

Таким образом, объем параллелепипеда равен 256√3 см³.