Question

Через сторону основания правильной треугольной пирамиды перпендикулярно противоположному боковому ребру проведено сечение. Секущая плоскость делит это ребро в отношений 3:2, считая от вершины. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если сторона основания равна 6√2.

Answer 1

Пусть дана пирамида SАВС, высота её SO, апофема SД, высота основания ВД.
ВД = a*cos30° = 6√2*(√3/2) = 3√6.
Точка О делит ВД в отношении 2:1 от В:
ВО = (2/3)*3√6 = 2√6.
ДО = (1/3)*3√6 = √6.
Проведём осевое сечение через ребро SВ.
В сечении имеем треугольник ДSВ, в нём 2 высоты: ДЕ к ребру SВ и SO  к ВД.
Рассмотрим подобные треугольники SOB и ДВЕ (у них по прямому и общему углу В).
Коэффициент пропорциональности деления точкой Е ребра SB примем к: SE = 3k. BE = 2k, SB = 5k.
Составим пропорцию: 2√6/5k = 2k/3√6,
10k² = 36,
k² = 3,6.
Теперь можно найти высоту (Н = SO) пирамиды:
Н = √(SB² - BO²) = √(25k² - 24) = √(25*3,6 - 24) = √(90 - 24) = √66.
Апофема А = SД = √(Н² + ДО²) = √(66 + 6) = √72 = 6√2.
Периметр Р основания равен:
Р = 3а = 3*6√2 = 18√2.
Площадь Sбок боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*18√2*6√2 = 108 кв.ед.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с геометрией пирамиды.

Пусть треугольник ABC - основание пирамиды, где AB = BC = AC = 6√2. Пусть V - вершина пирамиды, и пусть M - точка на боковом ребре VC, где VM делит VC в отношении 3:2.

Поскольку треугольник ABC - правильный треугольник, у него все стороны равны. Поэтому, длина каждой стороны равна 6√2.

Также, поскольку VM делит VC в отношении 3:2, можно сказать, что VM = (3/5) * VC и MC = (2/5) * VC.

Теперь, нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды определяется суммой площадей треугольников, образованных боковыми гранями.

Обозначим A' и B' точки пересечения секущей плоскости с ребрами AB и BC соответственно.

Поскольку треугольник ABC - правильный треугольник, то AM = BM = CM = 6√2 / √2 = 6. Также, поскольку VM делит VC в отношении 3:2, можно сказать, что VM = (3/5) * VC = (3/5) * 6 = 18/5, и MC = (2/5) * VC = (2/5) * 6 = 12/5.

Треугольник AVB - прямоугольный треугольник, так как VM перпендикулярно AB. Зная AM = 6 и VM = 18/5, мы можем найти длину AB' (B' - точка пересечения AM и секущей плоскости).

Используя теорему Пифагора, AB' = √(AM^2 - VM^2) = √(6^2 - (18/5)^2) = √(36 - 324/25) = √(900/25 - 324/25) = √(576/25) = 24/5.

Треугольник CB'M - прямоугольный треугольник, так как VM перпендикулярно BC. Зная CM = 6 и MC = 12/5, мы можем найти длину B'C' (B' - точка пересечения CM и секущей плоскости).

Используя теорему Пифагора, B'C' = √(CM^2 - MC^2) = √(6^2 - (12/5)^2) = √(36 -