Question

Концы отрезка АВ = 75 см находятся на взаимно перпендикулярных плоскостях и отстоят от линии пересечения этих плоскостей на расстоянии АС = 50 см и BD= 55 см. Найдите длину проекции отрезка на линию пересечения плоскостей

Answer 1

ACD∩BCD=CD,
AC⊥CD, => AC⊥BCD => AC⊥BC.
По теореме Пифагора 
$BC= \sqrt{AB^{2}- AC^{2} } = \sqrt{ 75^{2} - 50^{2} } = 25\sqrt{5}$
BD⊥CD, по теореме Пифагора
$CD= \sqrt{BC^{2}- BD^{2} } = \sqrt{ 3125 - 3025 } = 10$ (см)

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть C и D - точки пересечения отрезка AB с плоскостью, проходящей через A, и плоскостью, проходящей через B соответственно.

Из условия задачи известны значения AC = 50 см и BD = 55 см. Мы должны найти длину проекции отрезка AB на линию пересечения этих плоскостей. Обозначим эту длину как x.

Применим теорему Пифагора к треугольникам ABC и BCD: AC² = AB² - BC², BD² = AB² - CD².

Учитывая, что BC = CD = x (проекция отрезка AB на линию пересечения плоскостей), мы можем записать эти уравнения следующим образом: 50² = AB² - x², 55² = AB² - x².

Выразим AB² из обоих уравнений: AB² = 50² + x², AB² = 55² + x².

Поскольку AB² должно быть одним и тем же в обоих уравнениях, мы можем сравнить правые части: 50² + x² = 55² + x².

Вычтем x² из обеих частей и решим полученное уравнение: 50² = 55², 50² - 55² = 0.

Здесь мы получили квадратное уравнение, которое можно решить:

(x - 50)(x + 55) = 0.

Отсюда следует, что x = 50 или x = -55. Отрицательное значение x не имеет физического смысла, поэтому мы выбираем положительное значение.

Таким образом, длина проекции отрезка AB на линию пересечения плоскостей составляет 50 см.