Question

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известно, что АВ=12,5; АС=7,5. Найдите, в каком соотношении биссектриса треугольника АD делит высоту СН.

Answer 1

Ответ: 5:3

Объяснение:        Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.  Обозначим точку пересечения биссектрисы АD и высоты СН буквой К. Тогда СК:КН=АС:АН.

   В прямоугольном треугольнике катет есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

  АС - катет, АН его проекция на гипотенузу.  Примем АН=х ⇒ АС²=АВ•АН ⇒ 7,5²=12,5•х, откуда х=4,5

Искомое отношение СК:КН=7,5:4,5=5:3

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника.

Пусть точка D - точка пересечения биссектрисы треугольника АВС с высотой СН. Обозначим длину СН через h.

Известно, что АС = 7,5 и АВ = 12,5.

Так как треугольник АВС - прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:

АС² + АВ² = СВ²

7,5² + 12,5² = СВ²

56,25 + 156,25 = СВ²

212,5 = СВ²

СВ = √212,5

СВ ≈ 14,56

Теперь мы можем применить теорему биссектрисы, которая гласит:

AD/CD = AB/CB

где AD - отрезок, на который биссектриса треугольника АД делит сторону АС, CD - отрезок, на который биссектриса делит сторону СВ, AB - длина стороны АВ, CB - длина стороны СВ.

В нашем случае AB = 12,5 и CB = √212,5.

Подставляя значения в формулу, получим:

AD/CD = 12,5/√212,5

Теперь найдем выражение для CD. Обратим внимание, что треугольник АСD подобен треугольнику СВС, так как угол АCD является общим для обоих треугольников, и угол А у треугольника АСD прямой (так как АС - гипотенуза).

Тогда получим:

CD/СВ = AD/АС

CD/√212,5 = AD/7,5

CD = √212,5 * AD/7,5

Подставим это выражение в исходное уравнение:

AD/(√212,5 * AD/7,5) = 12,5/√212,5

Упростим:

7,5 = 12,5/√212,5

Умножим обе части уравнения на √212,5:

7,5 * √212,5 = 12,5

√212,5 ≈ 5,602

Теперь подставим это значение обратно:

7,5 = 12,5/5,602

7,5 * 5,602 = 12,5

42,015 ≈ 12,5

Таким образом, биссектриса треугольника АD делит высоту СН в соотношении примерно 12,5 : 42,015.