Question

При каком условии четырёхугольник можно вписать окружность ?

Answer 1

Если в 4-угольнике сума 2 противоположных углов ровна 180°. Если это прямоугольник, ровносторонняя трапеция

Answer 2

Четырёхугольник можно вписать окружность, если и только если он является трапецией, ромбом, прямоугольником или квадратом.

Это следует из теоремы о вписанной окружности, которая утверждает, что вписанная окружность в четырёхугольник касается всех его сторон, если и только если сумма противолежащих углов равна 180 градусам.

В случае трапеции сумма противолежащих углов равна 180 градусам, поэтому трапецию можно вписать окружность.

В случае ромба все углы равны 90 градусам, поэтому сумма противолежащих углов также равна 180 градусам, и ромб можно вписать окружность.

Прямоугольник является частным случаем ромба, где все углы равны 90 градусам, поэтому прямоугольник можно вписать окружность.

Квадрат также является частным случаем ромба и прямоугольника, где все стороны и углы равны, поэтому квадрат можно вписать окружность.

Остальные четырёхугольники, например, произвольные выпуклые или невыпуклые четырёхугольники, не могут быть вписаны в окружность.