Question

Высота конуса равна 3см , а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите объём конуса .

Answer 1

Пусть АВС-осевое сечение ,которое представляет равнобедренный треугольник,<ABC=120гр.Тогда высота треугольника ВК =3см является медианой и биссектрисой.ΔАВК прямоугольный,<ABK=1/2*<ABC=1/2*120=60гр.Значит AK=R=BK*tg<ABK=3*√3см
V=1/3*π*AK²*BK=1/3*π*27*3=27πсм³

Answer 2

Чтобы найти объем конуса, необходимо знать радиус его основания. В данном случае радиус не указан явно, но мы можем найти его, используя информацию об угле при вершине осевого сечения.

Рассмотрим плоскость осевого сечения конуса. Угол при вершине этого сечения равен 120°. Угол в плоскости сечения между осью конуса и линией, проходящей через центр основания и вершину конуса, будет половиной угла при вершине осевого сечения. Таким образом, этот угол равен 120° / 2 = 60°.

Теперь мы можем использовать геометрические свойства треугольника, образованного радиусом основания конуса, его половиной высоты и линией, проходящей через центр основания и вершину конуса, чтобы найти радиус основания.

В этом треугольнике:

• Противоположный катет равен радиусу основания конуса (r).
• Половина высоты конуса (h/2) — это прилегающий катет.
• Линия, проходящая через центр основания и вершину конуса, — это гипотенуза.

Мы знаем, что тангенс угла между прилегающим катетом и гипотенузой равен отношению длин противоположного катета к прилегающему катету:

tan(60°) = r / (h/2)

В данном случае, высота конуса h = 3 см, поэтому получим:

tan(60°) = r / (3/2)

Тангенс 60° равен √3:

√3 = r / (3/2)

Умножим обе части на (3/2):

√3 * (3/2) = r

(√3 * 3) / 2 = r

Объем конуса можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * π * r^2 * h

Подставим значение радиуса r = (√3 * 3) / 2 и высоты h = 3:

V = (1/3) * π * ((√3 * 3) / 2)^2 * 3

Выполняя вычисления, получим приближенное значение объема конуса.