Question

Сформулировать и доказать третий признак параллелограмма(по 2 сторонам)

Answer 1

1)Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом. Доказательство:Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом. 2)Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.   Доказательство:Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом. 3)Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.  Признаки:Если в четырехуголнике 2 стороны равны и параллельны,то этот четырехугольник-параллелограммЕсли в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,то этот четырхугольник-параллелограмм Если в четырехуголнике диагонали пересекаются и точкой пересечения деляться пополам,тот этот четыреуголник-параллелограмм

Answer 2

Третий признак параллелограмма (по двум сторонам) утверждает следующее:

Если в параллелограмме две стороны параллельны и равны, то остальные две стороны также параллельны и равны.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором стороны AB и DC параллельны и равны друг другу (AB = DC).

Проведем диагонали AC и BD.

Так как AB || DC, то по свойству параллельных прямых угол BAC равен углу ACD (они являются соответственными углами при параллельных прямых AB и DC). Аналогично, угол ABC равен углу CDA.

Также, так как AB = DC, то сторона AC равна стороне BD, так как они являются сторонами параллелограмма.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

У них две стороны равны (AB = DC и AC = BD), а угол ABC равен углу CDA.

По теореме о равенстве двух треугольников (СТУ), эти треугольники равны.

Из равенства треугольников ABC и CDA следует, что угол BAC равен углу ACD (по соответствующим частям равных треугольников).

Таким образом, мы показали, что в параллелограмме ABCD две стороны AB и DC параллельны и равны, а значит, остальные две стороны AD и BC также параллельны и равны.

Третий признак параллелограмма (по двум сторонам) доказан.