Question

Докажите, что через любую точку пространства можно провести единственную прямую перпендикулярной данной плоскости.

Answer 1

Может на этой плоскости провести прямую принадлежащую этой плоскости и только одну перпендикулярную прямую можно построить к этой прямой через точку??

Answer 2

Для доказательства этого факта рассмотрим следующую ситуацию: у нас есть плоскость P и точка A, не лежащая в этой плоскости.

Предположим, что существуют две различные прямые, проходящие через точку A и перпендикулярные плоскости P. Обозначим эти прямые как l1 и l2.

Так как l1 и l2 перпендикулярны плоскости P, они лежат в плоскостях, перпендикулярных плоскости P. Обозначим эти плоскости как P1 и P2 соответственно.

Поскольку l1 и l2 лежат в плоскостях P1 и P2 и проходят через одну точку A, они должны пересекаться. Пусть точка пересечения обозначается как B.

Теперь рассмотрим треугольник ABP, где P - точка, принадлежащая плоскости P. Поскольку l1 и l2 перпендикулярны плоскости P, они должны быть перпендикулярны к любой прямой, лежащей в плоскости P. Таким образом, прямая BP должна быть перпендикулярна плоскости P.

Однако мы знаем, что l1 также должна быть перпендикулярна плоскости P1, а l2 - перпендикулярна плоскости P2. Таким образом, мы получаем, что BP перпендикулярна P, P1 и P2 одновременно.

Такое положение невозможно, потому что перпендикулярность между прямыми и плоскостями означает, что они должны пересекаться в пространстве под прямым углом. Если BP перпендикулярна P, P1 и P2 одновременно, это означает, что плоскости P1 и P2 также должны быть перпендикулярны друг другу. Однако это противоречит начальному предположению, что P1 и P2 - плоскости, перпендикулярные плоскости P.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о существовании двух различных прямых l1 и l2, проходящих через точку A и перпендикулярных плоскости P, неверно.

Следовательно, через любую точку пространства