Question

Площадь треугольника ABC равна 198. Биссектриса AL пересекает медиану BM в точке K. Найдите площадь четырехугольника MCLK, если известно, что BL:CL=7:4.

Answer 1

 Просто постройте какой-то треугольник и проведите в нем биссектрису угла А и медиану к стороне АС. 

Смотрите, как это решается.

Если площадь АВС равна S (по условию это 198, потом подставим), то площадь АВM равна S/2. 

Sabm = S/2

(Если у двух треугольников общая высота - в данном случае это растояние от В до АС, то отношение площадей равно отношению сторон, к которым эта высота проведена - это будет использовано еще несколько раз)

Далее, CL/BL = 4/7 = AC/AB, и АМ = АС/2, поэтому АМ/AB = 2/7, но это означает, что MK/KB = 2/7;

То есть МК/BM = 2/(2 + 7) = 2/9 и KB/BM = 7/9 (ясно, что в сумме 1 и отношение 2/7)

Но это означает, что площадь АМK составляет 2/9 площади АВМ (высота общая, расстояние от А до ВМ, стороны относятся как МК/BM = 2/9)

Samk = Sabm*2/9 = S/9;

Ну, и CL/BL = 4/7, поэтому CL/CB = 4/(4 + 7) = 4/11;

то есть площадь треугольника ACL соствляет 4/11 площади АВС (тот же прием - высота общая - это расстояние от А до ВС, стороны относятся как 4/11).

Sacl = S*4/11;

Площадь MCLK равна разности площадей треугольников ACL и AMK 

Smclk = Sacl - Samk = S*4/11 - S/9;

Ну, и осталось подставить S = 198.

Smclk = 198*4/11 - 198/9 = 18*4 - 22 = 72 - 22 = 50;

 Поставь лучшее решение!

Answer 2

Чтобы найти площадь четырехугольника MCLK, нам нужно найти длины отрезков MK и LC, а затем использовать формулу для площади четырехугольника.

Известно, что BL:CL = 7:4. Обозначим длину BL через x, тогда длина CL будет равна (4/7)x.

Также, поскольку точка K является пересечением биссектрисы AL и медианы BM, она делит медиану BM пополам. То есть, длина BK равна длине KM.

Площадь треугольника ABC равна 198, поэтому мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * BL * AC * sin(BAC),

где AC - сторона треугольника, противолежащая углу BAC.

Для простоты расчетов, мы можем считать, что AC равно 1 (так как это не влияет на отношение площадей). Тогда мы получаем:

198 = (1/2) * x * 1 * sin(BAC).

Отсюда мы можем выразить sin(BAC):

sin(BAC) = 2 * 198 / x.

Теперь рассмотрим треугольник BKM. Площадь этого треугольника можно выразить следующим образом:

Площадь треугольника BKM = (1/2) * BK * BM * sin(BKM).

Мы знаем, что BK = KM, поэтому:

Площадь треугольника BKM = (1/2) * KM * BM * sin(BKM).

Так как KM = BK и KM = LC, а BM = 2 * LC (так как K делит медиану пополам), мы можем записать:

Площадь треугольника BKM = (1/2) * KM * 2 * LC * sin(BKM).

Подставляем KM = LC и BM = 2 * LC:

Площадь треугольника BKM = (1/2) * LC * 2 * LC * sin(BKM).

Площадь треугольника BKM = LC^2 * sin(BKM).

Теперь мы можем выразить площадь четырехугольника MCLK, используя площади треугольников ABC и BKM:

Площадь четырехугольника MCLK = Площадь треугольника ABC - Площадь треугольника BKM.

Площадь четырехугольника MCLK = (1/2) * x * 1 * sin(BAC) - LC^2 * sin(BKM).

Подставляем sin(BAC) = 2 * 198 / x и sin(BKM) = LC^