Question

В угол вписана окружность з радиусом R. Длина хорды, которая соединяет точки касания, равна а. К окружности проведены две касательные, параллельные к хорде. Найти площадь полученной трапеции. P.S. Учитель сказал, что решать нужно через подобие треугольников

Answer 1

MN - средняя линия трапеции. Средняя линия проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки касательных из одной точки равны, △BAC - равнобедренный. Параллельные линии отсекают от угла подобные треугольники. Средняя линия MN параллельна основаниям, основания параллельны BC, MN||BC => △MAN~△BAC, △MAN - равнобедренный. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Биссектриса в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой, ∠BDO=90, BD=BC/2=a/2, MO=MN/2.

Радиус перпендикулярен касательной, ∠OBM=90.

Накрест лежащие углы при параллельных равны, ∠MOB=∠OBD.

△MOB~△OBD (по двум углам)

MO/OB=OB/BD <=> (MN/2)/r=r/(a/2) <=> MN=4r^2/a

В трапецию вписана окружность, h=2r.

S=MN*h =4r^2/a *2r =8r^3/a

Answer 2

Для решения задачи через подобие треугольников, давайте обратимся к геометрическим свойствам фигуры.

Пусть точки касания окружности с хордой обозначены как A и B, а точки касания касательных с окружностью обозначены как C и D, причем C находится выше хорды, а D — ниже.

Обозначим точку пересечения касательных как E.

Так как касательные параллельны хорде AB, угол между хордой и каждой из касательных равен прямому углу.

Из свойств касательных к окружности известно, что сегменты касательных, проведенные из одной точки, равны по длине. Следовательно, AC = AD и BC = BD.

Рассмотрим треугольник AEC. Он является прямоугольным треугольником, так как угол EAC является прямым (поскольку AC — касательная к окружности).

Аналогично, треугольник BDE также является прямоугольным треугольником.

Теперь, используя подобие треугольников AEC и BDE, мы можем записать следующее отношение:

AC/AE = BC/BE

Поскольку AC = AD и BC = BD, мы можем заменить эти значения в уравнении:

AD/AE = BD/BE

Так как точки E и D совпадают, мы можем записать:

AD/AE = BD/AD

AD^2 = AE × BD

AD × AD = AE × BD

AD^2 = R × R

AD = R

Теперь мы знаем, что AD = BD = R.

Давайте рассмотрим трапецию ACBD. В этой трапеции параллельные стороны AC и BD имеют длину а, а основания AD и BC имеют длину 2R.

Площадь трапеции можно найти по формуле:

S = (AD + BC) × h / 2,

где h — расстояние между основаниями трапеции.

В нашем случае h равно радиусу окружности R.

Подставляя известные значения, получим:

S = (2R + 2R) × R / 2 = 4R^2 / 2 = 2R^2

Таким образом, площадь полученной трапеции равна 2R^2.