Question

У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 16 см, бічна сторона 10 см. Знійдіть радіуси кіл, описаного та вписаного навколо трикутника. И если можно ещё одну. Сторни трикутника дорівнюють 4 см і 6 см, а кут між ними 60°. Знайти медіану проведену до третьої сторони.

Answer 1

1) В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, боковая сторона 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружности этого треугольника.

  Для вписанной окружности  r=S:p, где S -  площадь треугольника, р - полупериметр. S=a•h:2. Пусть треугольник АВС, высота ВН. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой. АН=НС=16:2=8 см. По т.Пифагора ВН=√(АВ²-АН*)=√(100-64)=6 см. => Ѕ=6•16:2=48 см². р=(16+10+10):2=18 см. r=48:18=2 ²/₃ см.

Для описанной окружности R=a•b•c/4S ⇒ R=10•10•16/4•48=8 ¹/₃ см

                             *  *  *

2) Стороны треугольника равны 4 см и 6 см, а угол между ними 60°. Найти медиану, проведенную к третьей стороне.

    Обозначим треугольник АВС, медиану – АМ. Достроим треугольник до параллелограмма АВКС. ВС - диагональ. Продолжение медианы - диагональ АК. Точка М - середина диагоналей.  По свойству углов при параллельных прямых и секущей ∠А+∠В=180°.  ⇒ ∠В=120°. По т.косинусов АК²=АВ²+ВС²-2•АВ•ВС•cos(ABC) ⇒  AK²=16+36-2•24•(-1/2)=76, откуда АM=0,5АК=0,5•√76=√19 см

Answer 2

1. У рівнобедреному трикутнику з основою 16 см і бічною стороною 10 см, радіус кола, описаного навколо трикутника, можна знайти за формулою: $R = \frac{{a}}{{2\sin(\angle BAC)}}$ де $R$ - радіус кола, $a$ - основа трикутника, $\angle BAC$ - кут при основі.

В нашому випадку, так як у нас рівнобедрений трикутник, то кут при основі $\angle BAC$ буде рівний куту протибічного вершини трикутника, тобто куту між бічною стороною і основою. Оскільки у рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює куту протибічного вершини, то ми можемо використати формулу: $R = \frac{{a}}{{2\sin(\angle B)}}$ де $\angle B$ - кут між бічною стороною і основою.

У нашому випадку, ми знаємо, що основа дорівнює 16 см, а бічна сторона - 10 см. Знайдемо кут $\angle B$: $\sin(\angle B) = \frac{{\frac{{a}}{{2}}}}{{R}}$ $\sin(\angle B) = \frac{{\frac{{10}}{{2}}}}{{R}}$ $\sin(\angle B) = \frac{{5}}{{R}}$

Тепер ми можемо визначити радіус кола, описаного навколо трикутника: $R = \frac{{16}}{{2\sin(\angle B)}} = \frac{{16}}{{2\frac{{5}}{{R}}}}$ $R^2 = \frac{{16^2}}{{2 \cdot 5}}$ $R^2 = \frac{{256}}{{10}}$ $R^2 = 25.6$ $R = \sqrt{{25.6}}$ $R \approx 5.06 \, \text{{см}}$

Отже, радіус кола, описаного навколо даного рівнобедреного трикутника, приблизно дорівнює 5.06 см.

Тепер знайдемо радіус кола, вписаного в трикутник. У рівнобедреному трикутнику, радіус кола, вписаного в трикутник, можна знайти за формулою:

$$$$