Question

Четырёх угольник АВСД вписан в окружность радиуса 8. Известно АВ=ВС=СД=12. Доказать. Что ВС и АД параллельны. Найти АД. Указание. Возможно понадобится найти синус 3х. Его можно найти через сумму синусов х и 2х.

Answer 1

1) Т.к. углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу, то они равны. Тогда треугольники DCB и ABC равны по стороне и 2-м углам(AC общая, а углы CDB=DBC=CAB=BAC т.к. треугольники DCB и ABC равнобедренные и углы CDB=CAB см. выше). Треугольники DCA и ABD равны по тому же принципу. В итоге треугольники CTB и DTA равнобедренные, а т.к. углы CTB и DTA вертикальные, то углы TDA и TBC равны, а это признак параллельности прямых, тогда CB || AD.

2) Пусть ACB=α. По формуле радиуса описанной окружности $8=\frac{12}{2sin\alpha}$, тогда $sin\alpha=\frac{3}{4}$. Угол DCA=180-3α. По теореме синусов имеем $\frac{12}{sin\alpha}=\frac{DA}{sin(180-3\alpha)}=\frac{DA}{sin3\alpha}=\frac{DA}{sin2\alpha+sin\alpha}=\frac{DA}{2sin\alpha cos\alpha+sin\alpha}=\frac{DA}{2sin\alpha \sqrt{1-sin^2\alpha}+sin\alpha}.$. Теперь подставляем значение sinα=3/4 и вычисляем. У меня получилось $3\sqrt{7}+12$

Answer 2

Для доказательства того, что стороны ВС и АД параллельны, мы можем использовать свойство четырёхугольника, вписанного в окружность, которое гласит, что противоположные углы суммы равны 180 градусам.

Обозначим углы четырёхугольника АВСД как α, β, γ и δ. Так как стороны АВ, ВС и СД равны между собой, у нас есть следующие равенства углов:

∠А = ∠В = ∠С = ∠Д = α

Также известно, что сумма всех углов в четырёхугольнике равна 360 градусам:

4α = 360° α = 90°

Теперь обратимся к треугольнику ВСД. Мы знаем, что угол ВСД равен α (90°). Так как углы треугольника ВСД в сумме равны 180 градусам, то угол ВДС (β) будет равен:

β = 180° - α β = 180° - 90° β = 90°

Таким образом, угол ВДС (β) также равен 90 градусам, что означает, что стороны ВС и АД являются параллельными.

Теперь нам нужно найти длину стороны АД. Обратимся к треугольнику АВС. Известно, что стороны АВ, ВС и СД равны 12. Рассмотрим треугольник АВД. Угол ВАД (γ) является половиной угла ВСД (β), поскольку они соответственные углы. Таким образом:

γ = β/2 γ = 90°/2 γ = 45°

Мы знаем, что синус угла ВАД (γ) равен отношению противолежащей стороны (АД) к гипотенузе (АВ). Мы также знаем, что АВ равно 12 и радиус окружности равен 8 (что является гипотенузой треугольника АВС). Таким образом, у нас есть следующее соотношение:

sin(γ) = АД/АВ sin(45°) = АД/12

Так как sin(45°) равен 1/√2, мы можем записать:

1/√2 = АД/12

Перемножим обе стороны на 12:

АД = 12/√2 АД = 6√2

Таким образ