Question

Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше 7 градусов ​

Answer 1

У девятиугольника можно провести 9*(9-3)/2 = 27 диагоналей. Пусть есть какая-та произвольная точка, через нее проведем 27 прямых, соответственно параллельных диагоналям девятиугольника. Тогда получим мы 54 угла, из условия угол между этими прямыми не меньше 7°, то их сумма будет не меньше 54 * 7° = 378°, что само собой больше чем 360° (сумма углов четырехугольника равна 360°), отсюда следует неверность утверждения

Ответ: это невозможно.

Answer 2

Давайте предположим, что в девятиугольнике нет пары диагоналей, угол между которыми меньше 7 градусов.

Рассмотрим каждую вершину девятиугольника. У каждой вершины есть возможность соединиться с другими вершинами, образуя диагонали. В девятиугольнике с 9 вершинами всего возможно C(9, 2) = 36 диагоналей.

Предположим, что угол между всеми парами диагоналей больше или равен 7 градусам.

Каждая диагональ делит девятиугольник на две части. Вершина, из которой выходит диагональ, будет одной из вершин одной из этих частей, а вершина, в которую входит диагональ, будет одной из вершин другой части.

Таким образом, для каждой диагонали мы можем найти пару вершин из общего множества из 9 вершин.

Если каждая из 36 диагоналей имеет угол, больший или равный 7 градусам, то каждая диагональ должна иметь свою пару вершин.

Но это противоречит принципу Дирихле, так как у нас есть 36 диагоналей и только 9 вершин. По принципу Дирихле какое-то из множеств должно содержать два элемента.

Следовательно, наше предположение было неверным, и в каждом девятиугольнике существует пара диагоналей, угол между которыми меньше 7 градусов.