Question

Найти объем правильной треугольной пирамиды если сторона основания равна 4 см. Боковое ребро образует с основанием угол 60 градусов.

Answer 1

Цитата: "Правильная треугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный треугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины. Только в правильном треугольнике совпадают точки пересечения медиан, биссектрис, высот, серединных перпендикуляров. Эта точка  называется центром правильного треугольника. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении 2:1, считая от вершины."

Объем правильной треугольной пирамиды равен 1/3*Sосн*H, где Sосн - площадь правильного треугольника равная Sосн=(√3)а²/4 = (√3)16/4. = 4√3.  H - высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды в центр основания.

Найдем высоту пирамиды.

Сначала найдем высоту основания по формуле h=(√3)a/2 = (√3)*4/2 = 2√3см.

Отрезок этой высоты от основания ребра до центра треугольника равна (2√3):3*2 =(4√3)/3см. Имеем прямоугольный треугольник, где гипотенуза - ребро пирамиды, один из катетов - высота пирамиды H, а другой катет - только чио найденный отрезок.

В этом тр-ке против угла 30 лежит катет, равный половине гипотенузы. Зная, что гипотенуза равна (8√3)/3, а катет равен (4√3)/3, по Пифагору находим второй катет (Н):

Н=√16 = 4см.

Искомый объем равен 1/3*Sосн*H = 1/3*(4√3)*4 =(16√3)/3 ≈ 9,24см³

 

 

Answer 2

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды сначала необходимо найти высоту пирамиды, а затем применить формулу для объема.

Поскольку дано, что боковое ребро образует с основанием угол 60 градусов, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором основание равно 4 см, один из углов равен 60 градусов, а гипотенуза - боковое ребро пирамиды.

Используя соотношение для прямоугольного треугольника, мы можем найти длину высоты пирамиды (h):

sin(60°) = h / 4

h = 4 * sin(60°) h = 4 * √3 / 2 h = 2√3 см

Теперь мы можем найти объем пирамиды (V) с помощью формулы:

V = (1/3) * площадь основания * высота

Поскольку пирамида имеет треугольную форму, площадь основания можно выразить через сторону (s):

площадь основания = (sqrt(3) / 4) * s^2

V = (1/3) * (sqrt(3) / 4) * 4^2 * 2√3 V = (1/3) * (sqrt(3) / 4) * 16 * 2√3 V = (1/3) * (4√3) * 16 V = (4/3) * 64√3 V = 256√3 / 3

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен 256√3 / 3 кубических сантиметров.