Question

В параллелограмме ABCD угол B тупой, периметр параллелограмма равен 22. Высоты BH и BK делят угол B на три равные части. найдите периметр четырехугольника BHDK

Answer 1

Угол В разделен на 3 части, каждая часть равна x,
тогда углы B и D=3x.
Рассмотрим BHDK сумма углов в нем
90+90+3x+x=360;
x=45.
Рассм ABH, в нем угол АВН=45,
Н=90,
тогда АВН=45, он равнобедренный, значит АН=ВН,
(аналогично с ВКС, ВК=КС.)
Р=НВ+ВК+КD+DH=AH+KC+KD+DH=AD+DC=1/2*(PABCD)=11см

Answer 2

Пусть сторона параллелограмма AB имеет длину a, а сторона BC имеет длину b.

Так как угол B тупой, то стороны AB и BC должны быть разного размера. Пусть a > b без потери общности.

Из условия задачи известно, что периметр параллелограмма равен 22:

2a + 2b = 22 a + b = 11

Мы также знаем, что высоты BH и BK делят угол B на три равные части. Обозначим точку пересечения высот BH и BK как точку E.

Так как высоты делят угол B на три равные части, угол BHE будет составлять 1/3 угла B, а угол BEK будет составлять 2/3 угла B. Следовательно, угол BHE = угол BEK = (1/3) * угол B.

Так как угол B тупой, угол BHE будет острый. Поэтому треугольник BHE будет прямоугольным.

Поскольку BH - высота параллелограмма, то BH = b.

Также, так как треугольник BHE прямоугольный, можно применить теорему Пифагора:

BE^2 = BH^2 + HE^2 BE^2 = b^2 + HE^2

Так как угол BHE = (1/3) * угла B, то угол BHE = (1/3) * 180° = 60°.

Мы также знаем, что BEK - равнобедренный треугольник, так как BE = BK. Поэтому угол BEK = угол BKE.

Так как угол BEK = (2/3) * угла B, то угол BEK = (2/3) * 180° = 120°.

Так как угол BHE = 60° и угол BEK = 120°, то треугольник BHE и треугольник BEK являются треугольниками 30-60-90.

В треугольнике 30-60-90 отношение длин сторон равно:

BH : HE : BE = 1 : sqrt(3) : 2

Мы уже знаем, что BH = b. Заменяя значения, получаем:

b : HE : BE = 1 : sqrt(3) : 2

Так как BH = b, то:

b : HE : BE = 1 : sqrt(3) : 2 b : HE : b = 1 : sqrt(3) : 2 1 : HE : 1 = 1 : sqrt(3) : 2

Теперь мы можем выразить HE через b:

HE = b / sqrt(3)

Периметр четырехугольника BHDK