Question

Боковое ребро правильной шестиугольной пирамидытравно а и составляет с плоскостью основания угол альфа. найдите объемы пирамиды и вписанного в пирамиду конуса ( можно решать: для а=2, альфа 60 градусов)

Answer 1

Проекция ребра  SA  на плоскость будет OA  (SO  ┴ (ABCDEF)   и  равна радиусу описанной около основания (здесь правильного шестиугольника) , что свою очередь равна сторону шестиугольника  a₆ = R =acosα ; SO =H =asinα .
  Vпир  =1/3*Sосн*H  =1/3*6*√3/4*(acosα)²*asinα   =(√3/2)*cos²α*sinα*a³ .
  При α=60° ; a= 2 получаем :   Vпир  = (√3/2)*1/4*(√3/2*8 = 3/2. 
  Апофема   пирамиды  является образующий  конуса
Vкон  =1/3*π*r² *H 
r = (√3/2)*R  =(√3/2)*acosα.
Vкон  =1/3*π*((√3/2)*acosα)*asinα =.(π/4)*cos²α*sinα*a³ .   
Получилось  Vкон = ( π/2√3) *Vпир  .
 При α=60° ; a= 2 получаем :  Vкон =( π/2√3)*3/2 = π√3/6.
***************************************************************
L =√(a² - (R/2)² =√(a² -(1/2*acosα)²) =a/2*√(4 - cos²α) ;

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится формула для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Также нам понадобится формула для объема конуса:

V_cone = (1/3) * π * r^2 * h_cone,

где V_cone - объем конуса, r - радиус основания конуса, h_cone - высота конуса.

Для начала нам нужно найти площадь основания пирамиды и высоту пирамиды.

Площадь основания пирамиды можно найти с помощью формулы для площади правильного шестиугольника:

S_hexagon = (3 * √3 * a^2) / 2,

где S_hexagon - площадь шестиугольника, a - длина стороны шестиугольника.

Для данной задачи a = 2, поэтому:

S_hexagon = (3 * √3 * 2^2) / 2 = (3 * √3 * 4) / 2 = 6√3.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. По условию, боковое ребро составляет с плоскостью основания угол альфа. В правильной шестиугольной пирамиде боковые ребра и основание образуют прямоугольные треугольники. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен α, то у нас имеется прямоугольный треугольник с катетами a и h, где h - высота пирамиды.

Таким образом, мы можем записать:

tan(α) = h / a,

h = a * tan(α).

Подставляя значения a = 2 и α = 60°, получаем:

h = 2 * tan(60°) = 2 * √3.

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * 6√3 * 2 * √3 = 4√3.

Теперь перейдем к вычислению объема вписанного конуса.

Вписанный конус в правильную шестиугольную пирамиду имеет радиус основания, равный радиусу вписанной окружности шестиугольника. Радиус вписанной окружности шестиугольника можно найти, зная длину стороны шестиугольника:

r = a / (