Question

Доказать лемму о пересечении продолжения высоты треугольника с описанной окружностью: «Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H , высота BB1 пересекает описанную окружность в точке B2 . Доказать, что B1H= B1B2 ». (Проведите высоту CC1 и рассмотрите вписанные углы.)

Answer 1

Решение смотри в файле

Answer 2

Для доказательства данной леммы мы будем использовать свойства треугольников и окружностей.

Дано:

• Треугольник ABC с высотами AD, BE и CF, пересекающимися в точке H.
• Высота BB1, которая пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке B2.

Нам нужно доказать, что B1H = B1B2.

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоту CC1, которая пересекает сторону AB в точке C1.

Так как BB1 является высотой треугольника ABC, то треугольник B1BB2 прямоугольный, и B1B2 является его гипотенузой.

Также заметим, что треугольники ABC и BCB1 подобны, так как у них углы при вершине B равны 90 градусам (так как BB1 и CC1 являются высотами треугольника ABC).

Таким образом, мы можем записать следующие отношения между сторонами этих треугольников:

BC/AB = BC1/AC (1)

Теперь рассмотрим треугольники B1B2B и ABC. Они также подобны, так как у них два угла равны (угол B1B2B равен углу CAB, так как B1B2 является дугой, а угол вписанной дуги равен половине этой дуги).

Таким образом, мы можем записать следующие отношения между сторонами этих треугольников:

BC/AB = B2B1/B1B (2)

Из (1) и (2) следует, что:

BC1/AC = B2B1/B1B

Учитывая, что треугольник ABC прямоугольный, мы знаем, что AC = BC1 (так как AC является гипотенузой этого треугольника).

Поэтому мы можем переписать последнее равенство следующим образом:

BC1/BC = B2B1/B1B

Мы знаем, что B1B2 является гипотенузой прямоугольного треугольника B1BB2.

Таким образом, B1B2/B1B = BC1/BC.

Следовательно, B2B1/B1B = B1B2/B1B.

Так как B1B2/B1B = 1 (так как это отношение гипотенузы к катету в прямоугольном треугольнике), то мы получаем:

B2B1/B1B = 1

Это означает, что B2