Question

Дотична в точці А до кола , описаного навколо трикутника АВС перетинає пряму ВС в т. D. АЕ - бісектриса трикутника АВС. Довести, що AD=DE. (8-9 клас, можна українською або російською)

Answer 1

Доведення. \////////////////////

Answer 2

Давайте спробуємо довести, що AD = DE.

Оскільки АЕ є бісектрисою трикутника АВС, це означає, що кут BAE дорівнює куту CAE.

Також, оскільки АD - дотична до кола, описаного навколо трикутника АВС, то кут BAD дорівнює куту CDA за властивістю дотичної до кола.

Тепер ми можемо скористатися теоремою про дві бісектриси в трикутнику. Вона говорить, що якщо бісектриси двох кутів утворюють пряму лінію, то відповідні сегменти, що утворюються на сторонах трикутника між вершинами та цією прямою, мають однакові довжини.

Отже, ми маємо:

AD/BD = AC/BC (1)

Також, оскільки кут BAE дорівнює куту CAE, ми маємо:

AE/BE = AC/BC (2)

Зіставляючи (1) і (2), ми отримуємо:

AD/BD = AE/BE

AD/BD * BD = AE/BE * BD

AD = AE/BE * BD

Оскільки BE = BD + DE, ми можемо замінити BE в останньому рівнянні:

AD = AE/(BD + DE) * BD

Розділимо обидві частини на BD:

AD/BD = AE/(BD + DE)

AD = AE * BD / (BD + DE)

Тепер помітимо, що оскільки AD = AD (однакові сторони), ми можемо записати:

AE * BD / (BD + DE) = AD

Знаменник у правій частині можна поділити на кожен доданок:

AE * BD / BD + AE * BD / DE = AD

AE + AE * BD / DE = AD

Застосуємо факт, що AE = AE (однакові сторони):

AE + AE * BD / DE = AE

Віднімемо AE з обох боків:

AE * BD / DE = 0

Оскільки AE не може дорівнювати нулю (бісектриса не може бути нульовою довжини), ми маємо:

BD / DE = 0

Це може бути можливим тільки в т