Question

В треугольнике медиана проведенная к стороне образует угол 60 градусов. Две другие стороны равны 14 и 2√97. Найдите медиану.

Answer 1

Рассмотрим треугольник ABD. По теореме косинусов

$AB^2=BD^2+AD^2-2BD\cdot AD\cdot \cos60^\circ\\ 14^2=BD^2+AD^2-2BD\cdot AD\cdot \dfrac{1}{2}\\ \\ BD^2+AD^2-BD\cdot AD=196$

Для треугольника BDC (∠BDC = 180°-60° = 120°),  по теореме косинусов:

$BC^2=BD^2+CD^2-2BD\cdot CD\cdot \cos120^\circ\\ BC^2=BD^2+CD^2-2BD\cdot CD\cdot (-\frac{1}{2})\\ (2\sqrt{97})^2=BD^2+CD^2+BD\cdot CD$

Поскольку BD - медиана, то AD = CD. Решим систему

$\displaystyle \left \{ {{BD^2+AD^2-BD\cdot AD=196} \atop {BD^2+AD^2+BD\cdot AD=388}} \right.$

Получится $BD=16$ и $AD=6$ или $BD=6$ и $AD=16$

Answer 2

Пусть треугольник ABC имеет стороны AB = 14, AC = 2√97 и BC = x, где медиана AM проходит к стороне BC и образует угол 60 градусов.

В треугольнике ABC можно использовать теорему косинусов для нахождения стороны BC:

BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(∠BAC)

Заменяя известные значения:

x² = 14² + (2√97)² - 2 * 14 * 2√97 * cos(60°)

x² = 196 + 4 * 97 - 2 * 14 * 2√97 * 0.5

x² = 196 + 388 - 56√97

x² = 584 - 56√97

Теперь, чтобы найти медиану AM, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABM:

AM² = AB² + BM²

Поскольку AM является медианой, то BM равно половине стороны BC:

BM = BC / 2 = x / 2

AM² = 14² + (x / 2)²

AM² = 196 + (x² / 4)

AM² = 196 + (584 - 56√97) / 4

AM² = 196 + 146 - 14√97

AM² = 342 - 14√97

Таким образом, медиана AM равна √(342 - 14√97).