Question

В прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе равна 50 см, а высота 48 см. Найдите периметр треугольника

Answer 1

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузе.
Тогда $BC = 2AM = 2 \cdot 50 = 100$
Высота в прямоугольном треугольнике является средним геометрический для проекций катетов на гипотенузу, т.е.:
$AH = \sqrt{BH \cdot HC}$.
Пусть BH = x. Тогда HC = (100 - x). Получим уравнение:
$x(100 - x) = 48^2 \\ -x^2 + 100x = 2304 \\ x^2 - 100x + 2304 = 0 \\ x^2 - 100x + 2500 - 196 = 0 \\ (x - 50)^2 - 14^2 = 0 \\ (x - 50 - 14)(x - 50 + 14) = 0 \\ x = 64 \ \ \ \ \ \ \ x = 36$
Значит, BH = 64 или 36, а HC = 36 или 64.
Для удобства пусть BH = 36, а HC = 64.
По теореме Пифагора в ΔABH:
$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{48^2 + 36^2} = \sqrt{2304 + 1296} = \sqrt{3600} = 60.$
По теореме Пифагора в ΔABC:
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{100^2 - 60^2} = \sqrt{10000 - 3600} = \sqrt{6400} = 80$
$P_{ABC} = AB + AC + BC = 100 + 80 + 60 = 240.$
Ответ: $P_{ABC} = 240 \ cm.$

Answer 2

Для решения задачи, нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства медиан треугольника.

Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где AB - гипотенуза, а CD - медиана, проведенная к гипотенузе. Пусть также CH - высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.

Из условия задачи, известно, что CD = 50 см и CH = 48 см.

Свойство медианы гласит, что медиана разделяет гипотенузу на две равные части. Таким образом, BD = AD = AB / 2.

Также из свойства прямоугольного треугольника известно, что произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, опущенную на гипотенузу. То есть BC * AC = AB * CH.

Используя эти свойства, мы можем решить задачу.

1. Найдем BD и AD: BD = CD / 2 = 50 см / 2 = 25 см AD = BD = 25 см

2. Найдем AB: AB = BD + AD = 25 см + 25 см = 50 см

3. Найдем BC и AC: BC * AC = AB * CH BC * AC = 50 см * 48 см BC * AC = 2400 см^2

Так как BC = AC (так как медиана разделяет гипотенузу на две равные части), то BC^2 = 2400 см^2 AC^2 = 2400 см^2

BC = AC = sqrt(2400) см BC = AC = 48.99 см (округлим до 2 знаков после запятой)

4. Найдем периметр треугольника ABC: Периметр = AB + BC + AC Периметр = 50 см + 48.99 см + 48.99 см Периметр ≈ 147.98 см

Таким образом, периметр треугольника ABC составляет около 147.98 см.