Question

Даны точки А(0,1,2), В(корень из 2,1,2), С(корень из 2,2,1 и D(0,2,1). Докажите,что АВСD - квадрат. Помогите пожалуйста доказать, но только не через доказательство того,что стороны равны и не через доказательство того,что диагонали равны и препендикулярны, а каким нибудь другим способом. Очень надо.

Answer 1

$\overrightarrow{AB}( \sqrt{2}-0;1-1;2-2) =\overrightarrow{AB}( \sqrt{2};0;0); \\ \overrightarrow{BC}( \sqrt{2}- \sqrt{2} ;2-1;1-2) =\overrightarrow{BC}( 0;1;-1); \\ \overrightarrow{CD}( 0-\sqrt{2};2-2;1-1) =\overrightarrow{CD}(- \sqrt{2};0;0); \\ \overrightarrow{DA}(0-0;1-2;2-1) =\overrightarrow{DA}( 0;-1;1);$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \sqrt{2}\cdot 0+0\cdot1+0\cdot(-1)=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}= 0\cdot (-\sqrt{2})+1\cdot0+(-1)\cdot 0=0\Rightarrow \overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{CD}$
$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DA}= (-\sqrt{2})\cdot 0 +0\cdot (-1)+0 \cdot 1=0\Rightarrow \overrightarrow{CD}\perp \overrightarrow{DA}$
$\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{AB}= 0\cdot \sqrt{2} +(-1)\cdot 0+1 \cdot 0=0\Rightarrow \overrightarrow{DA}\perp \overrightarrow{AB}$

Значит у четырехугольника четыре угла по 90°.
Противоположные стороны параллельны
ВС || AD    и  AB || DC, так как соответствующие векторы коллинеарны,а их  координаты пропорциональны.
|AB|=|BC|=|CD|=|AD|=√2
 ABCD- квадрат

Answer 2

Для доказательства, что ABCD является квадратом, можно воспользоваться свойствами векторов и показать, что все четыре стороны параллельны и равны друг другу, и что все четыре угла равны 90 градусам.

Шаг 1: Покажем, что вектор AB параллелен вектору CD.

Вектор AB = B - A = (корень из 2, 1, 2) - (0, 1, 2) = (корень из 2, 0, 0) Вектор CD = D - C = (0, 2, 1) - (корень из 2, 2, 1) = (-корень из 2, 0, 0)

Мы видим, что вектор AB и вектор CD имеют одинаковые x- и y-компоненты, а z-компоненты равны нулю. Значит, они параллельны.

Шаг 2: Покажем, что вектор BC параллелен вектору AD.

Вектор BC = C - B = (корень из 2, 2, 1) - (корень из 2, 1, 2) = (0, 1, -1) Вектор AD = D - A = (0, 2, 1) - (0, 1, 2) = (0, 1, -1)

Мы видим, что вектор BC и вектор AD имеют одинаковые x-, y- и z-компоненты. Значит, они параллельны.

Шаг 3: Покажем, что вектор AC перпендикулярен вектору BD.

Вектор AC = C - A = (корень из 2, 2, 1) - (0, 1, 2) = (корень из 2, 1, -1) Вектор BD = D - B = (0, 2, 1) - (корень из 2, 1, 2) = (-корень из 2, 1, -1)

Мы видим, что скалярное произведение векторов AC и BD равно: AC · BD = (корень из 2)(-корень из 2) + 11 + (-1)(-1) = -2 + 1 + 1 = 0

Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы AC и BD перпендикулярны.

Шаг 4: Покажем, что все четыре угла ABC, BCD, CDA и DAB равны 90 градусам.

Из предыдущих шагов мы знаем, что стороны AB и CD параллельны, стороны BC и AD параллельны, а стороны AC и BD пер