Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!! В треугольнике ABC проведена биссектриса BK, длина которой равна 4, причём KC=2√2 , угол BCA=45°. Найдите площадь.

Answer 1

По т.синусов: (2√2) / sin(KBC) = 4 / sin(45°) 
sin(KBC) = (2√2) / (4√2) = 1/2 ---> ∡KBC = 30° = ∡KBA 
∡ABC = 2*30° = 60° 
∡BAC = 180°-(60°+45°) = 75° 
∡AKB = 180°-(75°+30°) = 75° ---> AB=BK=4
S(ABK) = 0.5 * AB*BK * sin(KBA) = 4*4/4 = 4

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся формулой для площади треугольника через биссектрису и синус угла.

Пусть стороны треугольника обозначены как AB, BC и AC. Тогда известно, что BK (биссектриса) равна 4, а KC равно 2√2.

Возьмем отрезок BK и обозначим его как x. Тогда AK будет равно (4 - x), и CK будет равно (2√2 - x).

Заметим, что треугольник ABC равнобедренный, так как BK является биссектрисой угла B. Таким образом, AB = AC.

Мы также знаем, что угол BCA равен 45°. Так как угол BAC равен BCA (так как треугольник ABC равнобедренный), то угол BAC также равен 45°.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике BAC, мы можем записать:

sin(45°) = (CK / AC) = ((2√2 - x) / AB).

Так как AB = AC, мы можем записать:

sin(45°) = (2√2 - x) / AB.

Поскольку sin(45°) = 1/√2, мы можем решить это уравнение:

1/√2 = (2√2 - x) / AB.

Перекрестно умножим:

AB = (2√2 - x) * √2.

AB = 2 * 2 - x√2.

AB = 4 - x√2.

Так как AB = AC и BK = x, мы можем записать:

AC = 4 - x√2.

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника через биссектрису и синус угла:

Площадь треугольника ABC = 0,5 * BC * AC * sin(BCA).

В нашем случае, BC = 4, AC = 4 - x√2 и угол BCA = 45°.

Подставим значения:

Площадь треугольника ABC = 0,5 * 4 * (4 - x√2) * sin(45°).

Так как sin(45°) = 1/√2, мы можем упростить выражение:

Площадь треугольника ABC = 0,5 * 4 * (4 - x√2) * (1/√2).

Площадь треугольника ABC = 2 * (4 - x√2) * (1/√2).

Площадь треугольника ABC = (4 - x√2) / √2.

Площадь треугольника ABC = (4