Question

Внешний угол прямоугольного треугольника в 2 раза больше угла, смежного с ним. Найдите меньший отрезок гипотенузы, который отсекает перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла на гипотенузу, если гипотенуза равна 100

Answer 1

Смотри рисунок.
Пусть угол OCK=2х, тогда угол OCB равен х. Их сумма 180градусов, т.к. они смежные.
х+2х=180
3х=180
х=60 - это угол OCB.
Рассмотрим треугольник ОВС - он прямоугольный (угол ВОС=90градусов, угол ОСВ = 60 градусов) значит угол ОВС = 180-90-60=30 градусов 
Запишем для угла  OCB:
cos 60 = BC/AC   поскольку по условию AC=100, имеем
cos 60= BC/100⇒ BC = 100× cos 60 
cos 60 - это табличная величина = 1/2
BC= 100×1/2=50
Запишем для угла OBC:
sin 30 = OC/BC ⇒ OC= BC × sin 30= 50 × 1/2=25
sin 30 - это табличная величина = 1/ 2
Ответ: OC=25

Answer 2

Давайте обозначим меньший отрезок гипотенузы, который отсекает перпендикуляр, как x. Также, пусть угол, смежный с внешним углом, будет равен у, а внешний угол - 2у.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Так как один из углов равен 90 градусам (прямой угол), то два других угла в сумме составляют 90 градусов. Таким образом, y + 2y = 90.

Решая это уравнение, мы получаем: 3y = 90, откуда y = 30.

Теперь мы можем использовать тригонометрию для решения этой задачи. Так как мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, мы можем записать:

sin(y) = x / 100.

Теперь мы можем найти значение синуса 30 градусов (синус 30 градусов равен 0.5), подставить его в уравнение и решить его:

0.5 = x / 100.

Умножая обе стороны уравнения на 100, мы получаем:

x = 0.5 * 100 = 50.

Таким образом, меньший отрезок гипотенузы, который отсекает перпендикуляр, равен 50.