Question

треугольник АВС вписан в окружность с центром в точкеО.Угол А равен28 градусов,угол С равен 22градуса.угол АОС-?

Answer 1

Во-первых, сразу вычислю третий угол треугольника АВС. Это легко, ведь сумма углов треуголника всегда 180 градусов.

 

Итак: угол В = 180-22-28=130 (град).

 

Понятно теперь, что треугольник АВС тупоугольный и, значит, центр О описывающей его окружности не внутри треугольника, а вне его.

 

Стоит ли это объяснять? Ну, на всякий случай скажу, что это очевидно вот почему: гипотенуза прямоугольного треугольника всегда проходит через центр описывающей его окружности.Это точно проходят в школе!

(Теперь легко представить вот что:

- Если прямой угол такого (вписанного в круг) треугольника начать уменьшать, то центр кружности окажется внутри треугольника. Так со всеми остроугольными треуголниками получается.

- Если же прямой угол увеличивать, то центр кружности окажется за пределами треугольника. Это касается всех тупоугольних треуголников.)

 

 

Дальше  же вот из чего буду исходить:

Известно, что "Любой угол, касающийся окружности, используя хорду как ограничение угла, равен половине угла в центре".

Т.е. если  провести лучи из центра окружности (О) в точки пересечения хорды  и этой окружности (в нашем случае это точки А и С), получится угол ровно в два раза больший, чем тот, лучи которого будут проходить через те же точки А и С, но исходить из точки, лежащей на окружности. Назовем ее D.

АОC=2ADC

Внимание! Это касается только случаев, когда точка D и центр окружности О лежат по одну сторону от хорды!

 

Это точно в школе проходят.

 

То есть, знай мы ADC - и ответ на задачку у нас в кармане!

 

В нашем случае нет пока точки D, но у нас есть точка В! И это прекрасная возможность поставить точку D так, что мы с легкостью вычислим угол ADC!!

 

Нет ничего проще: Порводим прямую ВО - она пересечет нашу окружность как раз там, где нам нужно. Это и будет необходимая D. (Назовем точку пересечения D.)

 

Соединим отрезками точки D и A, D и C.

 

Теперь посчитаем величину угла ADC. Для этого рассмотрим два получившихся треугольника DAC и DСВ и четырехуголник DABС.

 

Треугольники прямоугольные. (Мы это уже обсуждали в начале - ведь  гипотенуза каждого из них проходит через центр описывающей их окружности)

Значит углы DAВ и DСВ прямые.

  

Получается, в четырехуголнике DAВС мы знаем три угла из четырех:

 - углы А (DAВ) и С (DСВ )  прямые,

 - угол В равен 130 градусов (мы это высчитали в самом начале, для треугольника АВС)

 

Ну, а что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов - это точно в школе проходят! (Да и сообразить легко - ведь такую фигуру всегда можно разбить диагональю на два треугольника. А в каждом треугольнике 180!)

 

значит АDС равен 360-90-90-130=50 градусов! (довольно забавно: этот угол, оказывается, равен сумме углов А и С треугольника АВС!)

 

Ну, и теперь только удвоить это число - и получим ответ:

 

Помните? АОC=2ADC

Т.е. угол АОС равен удвоенному АDС

АОС= 50х2= 100 градусов.

 

 

Итак все окаалось просто:

1) проводим прямую через В и О, точку пересечения ее с окружностью обозначаем D.

2) Определяем углы четырехугольника DABС

3) удваиваем величину угла АDС = это и есть искомая величина!

 

 

 Ура!))

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство вписанного угла, согласно которому угол, опирающийся на дугу, равен половине измеренного дуги.

Угол АОС равен половине дуги, на которую он опирается. Для нахождения этой дуги, нам нужно вычислить сумму углов в треугольнике АВС.

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Мы знаем, что угол А равен 28 градусов, а угол С равен 22 градусам. Чтобы найти угол В, мы можем использовать свойство суммы углов треугольника:

Угол В = 180 - угол А - угол С Угол В = 180 - 28 - 22 Угол В = 130 градусов

Теперь у нас есть сумма углов треугольника. Для нахождения дуги, на которую опирается угол АОС, мы должны разделить эту сумму на 2:

Дуга, на которую опирается угол АОС = (угол А + угол В + угол С) / 2 Дуга, на которую опирается угол АОС = (28 + 130 + 22) / 2 Дуга, на которую опирается угол АОС = 180 / 2 Дуга, на которую опирается угол АОС = 90 градусов

Таким образом, угол АОС равен 90 градусов.