Question

Докажите что диагонали равнобедренной трапеции пересекаются на ее оси симметрии.

Answer 1

.......................................................

Answer 2

Для доказательства данного факта рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Предположим, что диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и докажем, что точка O лежит на оси симметрии трапеции.

1. Рассмотрим треугольники AOC и BOD.

   • В равнобедренной трапеции ABCD стороны AO и CO равны (так как AD = BC), а стороны BO и DO также равны (так как AB = CD).
   • Углы AOC и BOD равны, так как они являются вертикальными углами, образованными пересекающимися прямыми AC и BD.
   • Таким образом, треугольники AOC и BOD являются равными по сторонам и углам, что делает их подобными.

2. Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Обозначим длину отрезка AO как x и длину отрезка OC как y. Тогда можно записать следующие пропорции: AO/OC = BO/OD = AC/BD.

3. Из равенства сторон AO и CO следует, что AO = CO = x. Из равенства сторон BO и DO следует, что BO = DO = y.

4. Теперь рассмотрим отношение AC/BD.

   • AC - это сумма отрезков AO и OC, то есть AC = AO + CO = x + x = 2x.
   • BD - это сумма отрезков BO и DO, то есть BD = BO + DO = y + y = 2y.

5. Таким образом, AC/BD = (2x)/(2y) = x/y.

6. Поскольку треугольники AOC и BOD подобны, их стороны пропорциональны, поэтому AC/BD = AO/OD = x/y.

7. Отсюда следует, что x/y = AO/OD.

8. Из пункта 7 мы видим, что отношение AO/OD не зависит от выбора конкретной равнобедренной трапеции. Это означает, что для любой равнобедренной трапеции, диагонали пересекаются на оси симметрии.

Таким образом, мы доказали, что диагонали равнобедренной трапеции пересекаются на ее оси симметрии.